326: カントールノーマルフォーム（正規形）はユニークである

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カントールノーマルフォーム（正規形）はユニークであることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カントールノーマルフォーム（正規形）の定義を知っている。
• 読者は、オーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理を認めている。
• 読者は、オーディナル（順序）数たちの算術のサブトラクション（減法）定理を認めている。
• 読者は、オーディナル（順序）数たちの算術の左キャンセレーション法則を認めている。
• 読者は、オーディナル（順序）数たちの任意の降順シーケンス（列）は有限であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の非ゼロオーディナル（順序）数に対するカントールノーマルフォーム（正規形）はユニークであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の非ゼロオーディナル（順序）数$o$に対して、$o$は$o={\omega }^{o_1}{n}_1+{\omega }^{o_2}{n}_2+...+{\omega }^{o_k}{n}_k$、それはカントールノーマルフォーム（正規形）である、ここで、$\omega$は自然数たちセット（集合）、$o_i$はあるオーディナル（順序）数、$n_i$はある自然数（あるオーディナル（順序）数として）、として表わすことができる、しかし、その$\{⟨o_1,n_1⟩,⟨o_2,n_2⟩,...,⟨o_k,n_k⟩\}$が唯一の可能性である。

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2: 証明

オーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理をシーケンシャルに適用することによって、$o$はそのように表現できる: 第1に、$o={\omega }^{o_1}{n}_1+{\rho }_1$、ここで、${\rho }_1\in {\omega }^{o_1}$、第2に、${\rho }_1={\omega }^{o_2}{n}_2+{\rho }_2$、ここで、${\rho }_2\in {\omega }^{o_2}$かつ$o_2\in o_1$、なぜなら、${\omega }^{o_2}\in ={\rho }_1\in {\omega }^{o_1}$、等々と続く、そして、当該シーケンス${\omega }^{o_1},{\omega }^{o_2},...$は有限である、オーディナル（順序）数たちの任意の降順シーケンス（列）は有限であるという命題によって。当該表現は、本手順によって生成される限りはユニークである、しかし、問題は、他の方法で生成された別の表現があるか否かである。

任意の$\lambda \in \sigma$および任意の自然数$n$に対して、${\omega }^{\lambda }n\in {\omega }^{\sigma }$であることを証明しよう。${\omega }^{\sigma }={\omega }^{\sigma }1+0$はオーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理におけるユニークなフォーム（形）である。${\omega }^{\lambda }\in {\omega }^{\sigma }$であるから、以下を満たすある${\rho }_1$、つまり、${\omega }^{\sigma }={\omega }^{\lambda }+{\rho }_1$、がある、オーディナル（順序）数たちの算術のサブトラクション（減法）定理によって、しかし、${\omega }^{\lambda }\in {\rho }_1$、なぜなら、それはオーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理におけるフォーム（形）ではあり得ず、明らかに、${\rho }_1$は${\omega }^{\lambda }$に等しくはあり得ない。すると、${\omega }^{\lambda }2={\omega }^{\lambda }+{\omega }^{\lambda }\in {\omega }^{\lambda }+{\rho }_1={\omega }^{\sigma }$、したがって、オーディナル（順序）数たちの算術のサブトラクション（減法）定理によって、以下を満たすある${\rho }_2$、つまり、${\omega }^{\sigma }={\omega }^{\lambda }2+{\rho }_2$、がある、しかし、ここでも、${\omega }^{\lambda }\in {\rho }_2$、そして、${\omega }^{\lambda }3={\omega }^{\lambda }2+{\omega }^{\lambda }\in {\omega }^{\lambda }2+{\rho }_2={\omega }^{\sigma }$、等々と続く。したがって、任意の自然数$n$に対して、${\omega }^{\lambda }n\in {\omega }^{\sigma }$。

$o={\omega }^{o_1^{\prime }}{n}_1^{\prime }+{\omega }^{o_2^{\prime }}{n}_2^{\prime }+...+{\omega }^{o_l^{\prime }}{n}_l^{\prime }$ ($o_1^{\prime },o_2^{\prime },...,o_l^{\prime }$は降順、一般性を失うことなく）が別の表現であると仮定しよう。$o\in {\omega }^{o_1^{\prime }}(n_1^{\prime }+1)$、なぜなら、${\omega }^{o_l^{\prime }}{n}_l^{\prime }\in {\omega }^{o_{l-1}^{\prime }}$、したがって、${\omega }^{o_{l-1}^{\prime }}{n}_{l-1}^{\prime }+{\omega }^{o_l^{\prime }}{n}_l^{\prime }\in {\omega }^{o_{l-1}^{\prime }}(n_{l-1}^{\prime }+1)$; ${\omega }^{o_{l-1}^{\prime }}(n_{l-1}^{\prime }+1)\in {\omega }^{o_{l-2}^{\prime }}$、したがって、${\omega }^{o_{l-2}^{\prime }}{n}_{l-2}^{\prime }+{\omega }^{o_{l-1}^{\prime }}(n_{l-1}^{\prime }+1)\in {\omega }^{o_{l-2}^{\prime }}(n_{l-2}^{\prime }+1)$、等々と続く。もしも、$o_1^{\prime }\in o_1$であったら、$o\in {\omega }^{o_1^{\prime }}(n_1^{\prime }+1)\in {\omega }^{o_1}\in {\omega }^{o_1}{n}_1\in o$、矛盾。対称性によって、$o_1\in o_1^{\prime }$も不可能である、したがって、$o_1=o_1^{\prime }$。

もしも、$n_1^{\prime }\in n_1$であったら、$n_1^{\prime }+1\in =n_1$、しかし、$o\in {\omega }^{o_1^{\prime }}(n_1^{\prime }+1)\in ={\omega }^{o_1}(n_1)\in =o$、矛盾。対称性によって、$n_1\in n_1^{\prime }$も不可能である、したがって、$n_1=n_1^{\prime }$。

オーディナル（順序）数たちの算術の左キャンセレーション法則によって、${\omega }^{o_2}{n}_2+{\omega }^{o_3}{n}_3+...+{\omega }^{o_k}{n}_k={\omega }^{o_2^{\prime }}{n}_2^{\prime }+{\omega }^{o_3^{\prime }}{n}_3^{\prime }+...+{\omega }^{o_l^{\prime }}{n}_l^{\prime }$。そして、同様の議論によって、$o_2=o_2^{\prime }$かつ$n_2=n_2^{\prime }$、等々と続く。明らかに、$l$は$k$に等しくなければならない。

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参考資料

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