カントールノーマルフォーム（正規形）はユニークであることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カントールノーマルフォーム（正規形）の定義を知っている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理を認めている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちの算術のサブトラクション（減法）定理を認めている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちの算術の左キャンセレーション法則を認めている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちの任意の降順シーケンス（列）は有限であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の非ゼロオーディナル（順序）数に対するカントールノーマルフォーム（正規形）はユニークであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の非ゼロオーディナル（順序）数\(o\)に対して、\(o\)は\(o = \omega^{o_1} n_1 + \omega^{o_2} n_2 + . . . + \omega^{o_k} n_k\)、それはカントールノーマルフォーム（正規形）である、ここで、\(\omega\)は自然数たちセット（集合）、\(o_i\)はあるオーディナル（順序）数、\(n_i\)はある自然数（あるオーディナル（順序）数として）、として表わすことができる、しかし、その\(\{\langle o_1, n_1 \rangle, \langle o_2, n_2 \rangle, . . ., \langle o_k, n_k \rangle\}\)が唯一の可能性である。
2: 証明
オーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理をシーケンシャルに適用することによって、\(o\)はそのように表現できる: 第1に、\(o = \omega^{o_1} n_1 + \rho_1\)、ここで、\(\rho_1 \in \omega^{o_1}\)、第2に、\(\rho_1 = \omega^{o_2} n_2 + \rho_2\)、ここで、\(\rho_2 \in \omega^{o_2}\)かつ\(o_2 \in o_1\)、なぜなら、\(\omega^{o_2} \in= \rho_1 \in \omega^{o_1}\)、等々と続く、そして、当該シーケンス\(\omega^{o_1}, \omega^{o_2}, . . .\)は有限である、オーディナル（順序）数たちの任意の降順シーケンス（列）は有限であるという命題によって。当該表現は、本手順によって生成される限りはユニークである、しかし、問題は、他の方法で生成された別の表現があるか否かである。
任意の\(\lambda \in \sigma\)および任意の自然数\(n\)に対して、\(\omega^\lambda n \in \omega^\sigma\)であることを証明しよう。\(\omega^\sigma = \omega^\sigma 1 + 0\)はオーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理におけるユニークなフォーム（形）である。\(\omega^\lambda \in \omega^\sigma\)であるから、以下を満たすある\(\rho_1\)、つまり、\(\omega^\sigma = \omega^\lambda + \rho_1\)、がある、オーディナル（順序）数たちの算術のサブトラクション（減法）定理によって、しかし、\(\omega^\lambda \in \rho_1\)、なぜなら、それはオーディナル（順序）数たちの算術のロガリズム（対数）定理におけるフォーム（形）ではあり得ず、明らかに、\(\rho_1\)は\(\omega^\lambda\)に等しくはあり得ない。すると、\(\omega^\lambda 2 = \omega^\lambda + \omega^\lambda \in \omega^\lambda + \rho_1 = \omega^\sigma\)、したがって、オーディナル（順序）数たちの算術のサブトラクション（減法）定理によって、以下を満たすある\(\rho_2\)、つまり、\(\omega^\sigma = \omega^\lambda 2 + \rho_2\)、がある、しかし、ここでも、\(\omega^\lambda \in \rho_2\)、そして、\(\omega^\lambda 3 = \omega^\lambda 2 + \omega^\lambda \in \omega^\lambda 2 + \rho_2 = \omega^\sigma\)、等々と続く。したがって、任意の自然数\(n\)に対して、\(\omega^\lambda n \in \omega^\sigma\)。
\(o = \omega^{o'_1} n'_1 + \omega^{o'_2} n'_2 + . . . + \omega^{o'_l} n'_l\) (\(o'_1, o'_2, . . ., o'_l\)は降順、一般性を失うことなく）が別の表現であると仮定しよう。\(o \in \omega^{o'_1} (n'_1 + 1)\)、なぜなら、\(\omega^{o'_l} n'_l \in \omega^{o'_{l - 1}}\)、したがって、\(\omega^{o'_{l - 1}} n'_{l - 1} + \omega^{o'_l} n'_l \in \omega^{o'_{l - 1}} (n'_{l - 1} + 1)\); \(\omega^{o'_{l - 1}} (n'_{l - 1} + 1) \in \omega^{o'_{l - 2}}\)、したがって、\(\omega^{o'_{l - 2}} n'_{l - 2} + \omega^{o'_{l - 1}} (n'_{l - 1} + 1) \in \omega^{o'_{l - 2}} (n'_{l - 2} + 1)\)、等々と続く。もしも、\(o'_1 \in o_1\)であったら、\(o \in \omega^{o'_1} (n'_1 + 1) \in \omega^{o_1} \in \omega^{o_1} n_1 \in o\)、矛盾。対称性によって、\(o_1 \in o'_1\)も不可能である、したがって、\(o_1 = o'_1\)。
もしも、\(n'_1 \in n_1\)であったら、\(n'_1 + 1 \in= n_1\)、しかし、\(o \in \omega^{o'_1} (n'_1 + 1) \in= \omega^{o_1} (n_1) \in= o\)、矛盾。対称性によって、\(n_1 \in n'_1\)も不可能である、したがって、\(n_1 = n'_1\)。
オーディナル（順序）数たちの算術の左キャンセレーション法則によって、\(\omega^{o_2} n_2 + \omega^{o_3} n_3 + . . . + \omega^{o_k} n_k = \omega^{o'_2} n'_2 + \omega^{o'_3} n'_3 + . . . + \omega^{o'_l} n'_l\)。そして、同様の議論によって、\(o_2 = o'_2\)かつ\(n_2 = n'_2\)、等々と続く。明らかに、\(l\)は\(k\)に等しくなければならない。
