オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、リミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、モノトーン（単調）オペレーションの定義を知っている。
- 読者は、全オーディナル（順序）数たちコレクションから全オーディナル（順序）数たちコレクションの中へのコンティニュアス（連続）オペレーションの定義を知っている。
- 読者は、任意のオーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロで、その全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、包含関係はオーディナル（順序）数たちコレクション上でトライコトミー（3分割律）を満たすという命題を認めている。
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、任意のリミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーション\(f: O \rightarrow O\)、ここで、\(O\)は全オーディナル（順序）数たちコレクション、任意のリミットオーディナル（順序）数\(o_1\)に対して、\(o_2 := f (o_1)\)はリミットオーディナル（順序）数である。
2: 証明
コンティニュアス（連続）性の定義によって、\(o_2 = \cup_{o \in o_1} f (o)\)。\(f (o) \in f (o_1) = o_2\)、\(f\)はモノトーン（単調）であるから、そして、\(o_2\)は非ゼロ、なぜなら、\(o_1\)は非ゼロであり、少なくとも1つのそうした\(o\)があるから。したがって、\(\cup_{o \in o_1} f (o) \subseteq \cup_{o \in o_2} o\)。問題は、各\(o \in o_2\)に対して、以下を満たす\(o' \in o_1\)、つまり、\(o \subseteq f (o')\)、があるか？ある\(o \in o_2\)に対して、以下を満たす\(o' \in o_1\)、つまり、\(o \subseteq f (o')\)、がなかったと仮定しよう。包含関係はオーディナル（順序）数たちコレクション上でトライコトミー（3分割律）を満たすという命題によって、各\(o' \in o_1\)に対して、\(f (o') \subset o\)、したがって、\(o_2 = \cup_{o' \in o_1} f (o') \subset o \subset o_2\)、なぜなら、もしも、\(o \in o_2\)であれば、\(o \subset o_2\)、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、矛盾。したがって、各\(o \in o_2\)に対して、以下を満たすある\(o' \in o_1\)、つまり、\(o \subseteq f (o')\)、がある、したがって、\(\cup_{o \in o_2} o \subseteq \cup_{o \in o_1} f (o)\)。したがって、\(\cup_{o \in o_2} o = \cup_{o \in o_1} f (o) = o_2\)。任意のオーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロで、その全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(o_2\)はリミットオーディナル（順序）数である。
