2023年7月9日日曜日

319: オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、リミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数である

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オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中へのモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、リミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、オーディナル（順序）数たちコレクションからオーディナル（順序）数たちコレクションの中への任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションに対して、任意のリミットオーディナル（順序）数のイメージ（像）はリミットオーディナル（順序）数であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のモノトーン（単調）コンティニュアス（連続）オペレーションf:O→O、ここで、Oは全オーディナル（順序）数たちコレクション、任意のリミットオーディナル（順序）数o1に対して、o2:=f(o1)はリミットオーディナル（順序）数である。

2: 証明


コンティニュアス（連続）性の定義によって、o2=∪o∈o1f(o)。f(o)∈f(o1)=o2、fはモノトーン（単調）であるから、そして、o2は非ゼロ、なぜなら、o1は非ゼロであり、少なくとも1つのそうしたoがあるから。したがって、∪o∈o1f(o)⊆∪o∈o2o。問題は、各o∈o2に対して、以下を満たすo′∈o1、つまり、o⊆f(o′)、があるか？あるo∈o2に対して、以下を満たすo′∈o1、つまり、o⊆f(o′)、がなかったと仮定しよう。包含関係はオーディナル（順序）数たちコレクション上でトライコトミー（3分割律）を満たすという命題によって、各o′∈o1に対して、f(o′)⊂o、したがって、o2=∪o′∈o1f(o′)⊂o⊂o2、なぜなら、もしも、o∈o2であれば、o⊂o2、オーディナル（順序）数たちコレクションに対して、包含リレーション（関係）はメンバーシップリレーション（関係）に等価であるという命題によって、矛盾。したがって、各o∈o2に対して、以下を満たすあるo′∈o1、つまり、o⊆f(o′)、がある、したがって、∪o∈o2o⊆∪o∈o1f(o)。したがって、∪o∈o2o=∪o∈o1f(o)=o2。任意のオーディナル（順序）数はリミットオーディナル（順序）数である、もしも、それが非ゼロで、その全メンバーたちのユニオン（和集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって、o2はリミットオーディナル（順序）数である。

参考資料
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