水はコンティニュアス（連続）でない、なぜなら、分子たちからできている。もしも、その事実を無視するとしても、"水はコンティニュアス（連続）である。"は数学的にナンセンスである。
話題
About: 小学校数学
この記事の目次
- 開始コンテキスト
- ターゲットコンテキスト
- オリエンテーション
- 本体
- 1: 水はコンティニュアス（連続）でない
- 2: 連続性は、セット（集合）のプロパティとして定義することはできない
- 3: 連続性はメジャー（測度）についてのものである
- 4: ディスクリート（離散）メジャー（測度）とは何か？
- 5: コンティニュアス（連続）性は、あるラインをカバーするという問題ではない
- 6: コンティニュアス（連続）性は、マップ（写像）についてのものかもしれない
- 7: 低レベル学校たち生徒たちに何を教えるべきなのか
開始コンテキスト
- 読者は、本サイトの背景を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、'ディスクリート（分離）'または'コンティニュアス（連続）'が数学において何を意味するかを知る。
オリエンテーション
真実たちの導管になることによってヒューマニティーの庇護者になることについての記事があります。
本体
1: 水はコンティニュアス（連続）でない
ト書き
Special-Student-7-Hypothesizerは、あるペーパーバックを手にして、一部のページたちを前後に手繰っている。
Special-Student-7-Hypothesizer
この本、数学についての啓蒙書（数学に対する興味を掻き立てるという意味において良いものである、それについて私たちがこれ以降何を言おうとも）、は、分離量たちと連続量たちがあると言い、水を連続量たちの例として挙げている。
Special-Student-7-Rebutter
私は少しも理解しない: 任意の水のかたまりは、分子たちのセット（集合）であるが、水はどのように"連続量"であるのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
明らかに、著者は、水が分子たちからできていることを無視していた。
Special-Student-7-Rebutter
それでは、水は何だと想定されていたのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
水は、古代人たちが想像したものだと仮定されていたように思われる。
Special-Student-7-Rebutter
古代人たちは何を想像したのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
えーと、 ... どう述べてよいものか私にはわからない。
Special-Student-7-Rebutter
しかし、現代数学は、水のかたまりはいずれにせよポイントたちからできていると言う、もしも仮に、それらポイントたちが分子たちだと想定されていないとしても、違うかい？
Special-Student-7-Hypothesizer
そう思う: 現代数学によって水のかたまりを記述する唯一の方法は、水のかたまりをポイントたちのセット（集合）とみなすことである、そのセット（集合）が有限数の分子たちのセット（集合）であろうが、無限数のポイントたちのセット（集合）であろうが、私の知る限り。
Special-Student-7-Rebutter
それで、無限数のポイントたちの当該セット（集合）がどのように"連続量"なのか？
そもそも、"量"は何を意味するのか？当該セット（集合）そのものが"量"なのか、ポイントたちの数が"量"なのか、かたまりの体積が"量"なのか、かたまりの質量が"量"なのか、それとも何だ？
Special-Student-7-Hypothesizer
この本は、水のかたまりそのものが"連続量"だと言っているように思われる。
Special-Student-7-Rebutter
私は少しも理解しない。
Special-Student-7-Hypothesizer
この本は、水のかたまりをりんごたちのあるセット（集合）と比較し、水は連続である、なぜなら、りんごたちのセット（集合）の各要素は他の要素たちから離れていて独立しているが、水のかたまりはそうでない、と言っている。
Special-Student-7-Rebutter
私は反対する。水の各ポイントは他のどのポイントからも離れている: 例えば、任意のポイントを\((x, y, z)\)と表わすと、他の任意のポイントは\((x', y', z')\)で、\((x, y, z) \neq (x', y', z')\)である、そして、それら2ポイントたちの距離\(\sqrt{(x' - x)^2 + (y' - y)^2 + (z' - z)^2}\)は正であるというのに、それら2ポイントたちは、どのように離れていないのか？それに、"独立"は何を意味するのか？どのセット（集合）のどの互いに異なる2ポイントたちも独立なはずである、なぜなら、それは互いに異なるポイントたちである: そうでなければ、それらは同一ポイントであろう。
Special-Student-7-Hypothesizer
著者が言いたかったのは、水の任意の互いに異なるポイントたちの間に水の別のポイントがあるということだと思われる。
Special-Student-7-Rebutter
それは、有理数たちセット（集合）の場合もそうである（私は実数たちセット（集合）について話しているのではない）、自然な順序付きで、しかし、数学は有理数たちセット（集合）を"連続"とは呼ばない、私が知る限り。
Special-Student-7-Hypothesizer
この本は、また、"水は無限回数分割してもまだ水であり、任意の2つの水のかたまりが合わせられた時、合わさったものには継ぎ目がない。"とも言っている。
Special-Student-7-Rebutter
私は誠意を持って反対する: 水のどの単一ポイントも分割することはできない、その一方、りんごたちの任意の無限セット（集合）は無限回数分割できる: 例えば、りんごたちが自然数たちでインデックス付けられていると仮定して、当該セット（集合）を偶数インデックス付けられたセット（集合）と残りに分割する; 偶数インデックス付けられたセット（集合）を4倍数インデックス付けられたセット（集合）と残りに分割する; 等々と続ける; 継ぎ目がない？しかし、あるポイントが第1のかたまりから来たか第2のかたまりから来たかという区別は存在し、私はその区別を"継ぎ目"と呼ぶ: それは単に、合わせられた水の中に、想像上の仕切り板を考えるという問題に過ぎない。
Special-Student-7-Hypothesizer
確かに、あるセット（集合）が無限回数分割できるかは、単に、そのセット（集合）が無限であるかだけの問題である; あるセット（集合）に継ぎ目がないかどうかは、単に、ユニオン（和集合）が、共通ポイントたちを持ったセット（集合）たちのものであるだけの問題である: もしも、共通ポイントがなければ、当該ユニオン（和集合）は、ポイントたちの出元たちによって定義された継ぎ目を持つ。
Special-Student-7-Rebutter
それでは、水のかたまりはどのように"連続量"なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
この本は、また、りんごたちのセット（集合）の要素たちは数えられるが、水のかたまりセット（集合）の要素たちは数えられない、とも言っている。
Special-Student-7-Rebutter
はあ？私たちはまだ、連続性について話しているのか？それは、カウンタブル（可算）セット（集合）たちとアンカウンタブル（不可算）セット（集合）たちの間の区別であった。
Special-Student-7-Hypothesizer
数学は、カウンタブル（可算）セット（集合）たちとアンカウンタブル（不可算）セット（集合）たちを区別するが、アンカウンタブル（不可算）セット（集合）たちを"連続"とは呼ばない。
2: 連続性は、セット（集合）のプロパティとして定義することはできない
Special-Student-7-Hypothesizer
連続性は、セット（集合）のプロパティとして定義することはできない、なぜなら、任意の純粋なセット（集合）というものは、要素たちの単なるコレクションであり、要素たち間の何らの関係も想定されない。
Special-Student-7-Rebutter
"連続"という単語は要素たち間の関係を示唆するが、'セット（集合）'という概念は、要素間の関係を除去してある。
Special-Student-7-Hypothesizer
数学においては、抽象化が生命線である: 任意の概念がひとたび定義されたら、当該概念から除去された不当なプロパティが決してこっそり仮定されないことが重要である。
Special-Student-7-Rebutter
"水の任意の互いに異なるポイントたちの間に水の別のポイントがある"という言明は、純粋なセット（集合）についての話ではなく、順序付きセット（集合）についての話である、ここで、その順序は、当該セット（集合）へ付けられた付加的な構造である。
Special-Student-7-Hypothesizer
概念たちを明確に区別するということが、明快な思考のための第1ステップであり、数学は、概念たちに明確な区別を付けることを教えるための最上の方法かもしれない、しかし、低レベル学校たちはその機会を逃している。
実のところ、数学と折り合いが良いかは、数字たちと折り合いが良いかではなく（数学は必ずしも数字たちについてのものではない）、概念たちに明確な区別を付けることに折り合いが良いかである。
実のところ、数学嫌いと議論するのは、とても虚しいものである、なぜなら、相手は、しきりと物事たちを混同し、相手の議論は全くの泥沼である。
Special-Student-7-Rebutter
そして、とても多くの数学嫌いたちがいる ...
Special-Student-7-Hypothesizer
連続性は、セット（集合）についてのものではなく、順序付きセット（集合）についてのものでもない: 確かに、順序付きセット（集合）内の任意の互いに異なる2要素たちの間に別の要素が存在するかについて考えることはできるが、数学はそのプロパティを"連続性"とは呼ばない。
Special-Student-7-Rebutter
低レベル学校たちにて全てを教えられないことは理解するが、嘘はいかなるレベルにおいても教えられるべきでないと、私は主張する。
Special-Student-7-Hypothesizer
何かを教えないというのは構わないが、嘘を教えるというのは構わないとは言えない、ところが、"水は連続である。"は嘘である。
Special-Student-7-Rebutter
そうした嘘たちは、多くの熱意の乏しい生徒たちには"易しい"かもしれないが、誠意を持った生徒たちはそういう嘘たちに混乱するだろう、なぜなら、嘘たちは意味をなさない、もしも、誠意を持った生徒たちがそれらを熟考すれば。
Special-Student-7-Hypothesizer
バイアス惑星における教育は、熱意に乏しい生徒たちを甘やかすことを、誠意を持った生徒たちを混乱させないことよりも優先している、なぜなら、熱意に乏しい生徒たちは数が多く、誠意を持った生徒たちはとても数が少ないから: それは、"民主主義"と呼ばれる。
3: 連続性はメジャー（測度）についてのものである
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、連続性は、メジャー（測度）についてのものである。
Special-Student-7-Rebutter
'メジャー（測度）'とは何か？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のメジャー（測度）は、あるセット（集合）に付加された追加の構造であり、以下のように定義される: ある\(\sigma\)-アルジェブラ、それは、当該セット（集合）のパワーセット（べき集合）（当該セット（集合）の全てのサブセット（部分集合）たちのセット（集合））のあるサブセット（部分集合）である、のことを考え、当該\(\sigma\)-アルジェブラの各要素へ\([0, \infty]\)のある要素をマップする、ここで、\(\sigma\)-アルジェブラおよびマップ（写像）は一定の条件たちを満たさなければならない。
それは、多くの生徒たちにとって謎に聞こえるかもしれないが、例えば、水のかたまりたちの体積たちを取る方法は一種のメジャー（測度）である。
パワーセット（べき集合）自体を使う代わりにある\(\sigma\)-アルジェブラを選択する理由は、全てのサブセット（部分集合）たちを測定する必要は私たちにないということ（したがって、\(\sigma\)-アルジェブラの各要素を"メジャラブル（可測）サブセット（部分集合）"と呼ぶ）。
Special-Student-7-Rebutter
それが、"量"とは何かと私が尋ねた理由だ: "水はコンティニュアス（連続）である。"はナンセンスである、なぜなら、何のメジャー（測度）も指定されていないから。
Special-Student-7-Hypothesizer
注意として、同一セット（集合）に対して、私たちは、多くのメジャー（測度）たちのことを考えることができる: 体積たちを取るあるメジャー（測度）、質量たちを取るあるメジャー（測度）、ポイントたちの数を数えるメジャー（測度）（カウンティングメジャー（測度）と呼ばれる）、等々を私たちは取ることができる; 体積たちや質量たちの異なる単位たちを選べば、メジャー（測度）たちは異なる。
Special-Student-7-Rebutter
水のかたまりに対してカウンティングメジャー（測度）を選ぶことができるのか、集合はアンカウンタブル（不可算）だというのに？
Special-Student-7-Hypothesizer
はい、できます。カウンティングメジャー（測度）は、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）へ\(\infty\)をマップし、各ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）へポイントたちの数をマップします、したがって、セット（集合）がアンカウンタブル（不可算）であるということは、カウンティングメジャー（測度）が妥当であることを妨げません。
Special-Student-7-Rebutter
すると、その本は、水のかたまりはカウンティングメジャー（測度）を使えないかのようだが、それは正しくない。
Special-Student-7-Hypothesizer
それは確かに正しくない、ほとんどの人々はカウンティングメジャー（測度）を日々の目的たちに使いはしないものの。
Special-Student-7-Rebutter
それで、あるメジャー（測度）はどのように'コンティニュアス（連続）'なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のメジャー（測度）はコンティニュアス（連続）である、もしも、各単一ポイントサブセット（部分集合）が測度0である場合、そしてその場合に限って。
Special-Student-7-Rebutter
それは、ちょっと予期に反して単純だな。
Special-Student-7-Hypothesizer
水に対する体積メジャー（測度）は実際にコンティニュアス（連続）である、なぜなら、各単一ポイントサブセット（部分集合）が体積が0だから。
他方で、水のかたまりまたはりんごたちセット（集合）に対するカウンティングメジャー（測度）はコンティニュアス（連続）でない、なぜなら、各単一ポイントサブセットは測度1であるから。
Special-Student-7-Rebutter
したがって、"水はコンティニュアス（連続）である。"は本当にナンセンスなわけだ、なぜなら、水のかたまりは非コンティニュアス（連続）メジャー（測度）を持つことができる。
Special-Student-7-Hypothesizer
コンティニュアス（連続）性はメジャー（測度）に関することなので、私たちがどのメジャー（測度）を選択したかを表明しなければならない。
この本が言うべきだったのは、"水には、人間たちは大抵コンティニュアス（連続）メジャー（測度）たちを選ぶ、実用上は。"ということ、その一方で、そうしたメジャー（測度）がなぜコンティニュアス（連続）であるかという、この本が挙げている理由たち（"ポイントたちが離れている"; "無限に分割可能"; "要素たちがアンカウンタブル（不可算）"のような)は、全て間違っている。
4: ディスクリート（離散）メジャー（測度）とは何か？
Special-Student-7-Rebutter
ディスクリート（離散）メジャー（測度）とは何か？全ての非コンティニュアス（連続）メジャー（測度）はディスクリート（離散）なのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
違う。
'ディスクリート（離散）メジャー（測度）'は、あるカウンタブル（可算）メジャラブル（可測）サブセット（部分集合）でそのコンプリメント（補集合）（それは、メジャラブル（可測）サブセット（部分集合）であると保証されている、\(\sigma \)-アルジェブラの定義によって）が測度0であるものがある任意のメジャー（測度）であると定義されている。
Special-Student-7-Rebutter
りんごたちセット（集合）に対するカウンティングメジャー（測度）のケースでは、 ...
Special-Student-7-Hypothesizer
セット（集合）全体がカウンタブル（可算）であるから、"カウンタブル（可算）メジャラブル（可測）サブセット（部分集合）"はセット（集合）全体と取ることができる、そして、コンプリメント（補集合）は空集合であり、それは測度0である。したがって、りんごたちセット（集合）に対するカウンティングメジャー（測度）はディスクリート（離散）である。
Special-Student-7-Rebutter
すると、各カウンタブル（可算）セット（集合）に対するカウンティングメジャー（測度）はディスクリート（離散）である。
水のかたまりに対するカウンティングメジャー（測度）はどうなのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
そうしたカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）はない、したがって、ディスクリート（離散）でない。
Special-Student-7-Rebutter
すると、水のかたまりに対するカウンティングメジャー（測度）は、コンティニュアス（連続）でもなくディスクリート（離散）でもない。
Special-Student-7-Hypothesizer
水のかたまりに対する体積メジャー（測度）もディスクリート（離散）でない。
5: コンティニュアス（連続）性は、あるラインをカバーするという問題ではない
Special-Student-7-Rebutter
"コンティニュアス（連続）"という単語がほとんどの人々に思い起こさせることは、'あるラインをカバーする'ということかもしれない。
Special-Student-7-Hypothesizer
ああ、しかし、数学は、それを"コンティニュアス（連続）"とは呼ばない、私が知る限り。
それに注意すべきこととして、"無限回数分割可能"も"任意の2ポイントたちの間にあるポイントを持っている"も、'あるラインをカバーする'を含意しない。
実際、あるライン上の有理数たちセット（集合）は、'無限回数分割可能'であり'任意の2ポイントたちの間にあるポイントを持つ'が、それは、ラインをカバーしない。
それに、注意として、実数たちセット（集合）は、単にセット（集合）であって、ポイントたちは、内在的な位置たちを持たない: もしも、実数たちセット（集合）があるライン上にあるようにあなたが想像するならば、それは単にあなたがそう想像しているからに過ぎない: あなたは、実数たちが宇宙のあちこちに散らばっているように想像することもできる。
Special-Student-7-Rebutter
あるライン上の実数たちセット（集合）についてあなたが話す時、あなたはユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）について話している、純粋な実数たちセット（集合）についてではなく。
Special-Student-7-Hypothesizer
数学は、'コネクテッド（連結された）メトリック（計量付き）（またはトポロジカル）スペース（空間）'については話すが、"コンティニュアス（連続）メトリック（計量付き）（またはトポロジカル）スペース（空間）"については話さない、私が知る限り。
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）（任意のメトリックスペース（計量付き空間）は自然にトポロジカルスペース（空間）である）は、どんなディスジョイント（互いに素な）空でないオープンサブセット（開部分集合）たちのユニオン（和集合）でもないトポロジカルスペース（空間）であると定義されている、それは、トポロジーを学んだことのない人々には理解されないかもしれないが、少なくとも、あなたは、"無限回数分割可能"のような基準は'コネクテッド（連結された）性'を定義しないことは理解すべきである。
勿論、'あるラインをカバーする'は、歴史的に実数たちを促した重要な問題であるが、それは、コンティニュアス（連続）であることとは違う。
6: コンティニュアス（連続）性は、マップ（写像）についてのものかもしれない
Special-Student-7-Rebutter
'コンティニュアス（連続）マップ（写像）'という概念もあるだろう？
Special-Student-7-Hypothesizer
はい、これまでコンティニュアス（連続）メジャー（測度）について私たちが話してきたのは、この本はそれを意味していたに違いないからだが、"コンティニュアス（連続）"はいくつか他のケースたちにおいても使われる。
"コンティニュアス（連続）マップ（写像）"は多分、それらの内で最も有名なものだろう。
Special-Student-7-Rebutter
それは何を意味するのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
コンティニュアス（連続）性は、実のところ、当該マップ（写像）のドメイン（定義域）の各ポイントについて語られ、コドメイン（余域）上の値ポイントの各ネイバーフッド（近傍）に対して、当該ドメイン（定義域）ポイントのあるネイバーフッド（近傍）が当該コドメイン（余域）ネイバーフッド（近傍）の中へマップされることを意味する（それを理解するには、'トポロジー'の知識が要求される）。コンティニュアス（連続）マップ（写像）は、当該マップ（写像）が各ドメイン（定義域）ポイントにおいてコンティニュアス（連続）であることを意味する。
Special-Student-7-Rebutter
"ディスクリート（離散）マップ（写像）"はどうなのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
その概念を私は聞いたことがない。
7: 低レベル学校たち生徒たちに何を教えるべきなのか
Special-Student-7-Rebutter
しかし、低レベル学校たち生徒たちに何を教えるべきなのか？つまり、彼らに、\(\sigma\)-アルジェブラやメジャー（測度）の厳密な条件たちを教えるべきなのか？
Special-Student-7-Hypothesizer
私は、特にそうは言わない。
実のところ、'コンティニュアス（連続）'という概念を彼らに紹介する必要はない。
Special-Student-7-Rebutter
ないか？
Special-Student-7-Hypothesizer
本当の目的は、単に、彼らに自然数たちだけでは十分でないことを納得させることである; 彼らは、分数たちも小数たちも必要とする。したがって、ただ、彼らにそう納得させればよい、'コンティニュアス（連続）性'を持ち出さずに。
Special-Student-7-Rebutter
確かに、'コンティニュアス（連続）性'は、分数たちや小数たちを導入するのに不可欠ではない。
Special-Student-7-Hypothesizer
例としては、線分長のほうが水体積よりも良い、なぜなら、水は本当には分子たちから構成されており、それが状況を複雑にする。
Special-Student-7-Rebutter
しかし、生徒たちは、水の体積について知らなけれがならない、いずれにしても。
Special-Student-7-Hypothesizer
生徒たちは、必ず近似について知らなければならない。水は本当には分子たちから構成されているが、私たちは、水のかたまりの体積を測定する際、ある近似をするのである。
Special-Student-7-Rebutter
そう、'近似'および'誤差'は、低レベル学校たち生徒たちでも学ばなければならない最も重要な概念かもしれない。
Special-Student-7-Hypothesizer
任意の水のかたまりは分子たちから出来ていて、それら分子たちは動き回っているところ、その水のかたまりの体積とは実際のところ何なのか？ ... どのように厳密に'体積'を私たちが定義しようが、当該体積は実際には揺れ動いていて、あなたが測定した体積は誤差を持つ、その一部の理由は、体積が揺れ動いていることであり、一部の理由は、あなたの測定行為が不正確であることだ。
Special-Student-7-Rebutter
理解することが肝要だが、それはリアリティ自体が曖昧であることを意味しない: あなたは、単にあなたがリアリティを正確に測定できないことを理由にして、リアリティが曖昧であると言うことはできない。
Special-Student-7-Hypothesizer
不運なことに、それは、多くの著名な科学者たちにさえ理解されていないことだ。
Special-Student-7-Rebutter
'セット（集合）'については何を教えるべきか？
Special-Student-7-Hypothesizer
任意のセット（集合）は単に、いくつかの要素たちのコレクションであって、追加のプロパティは何も想定されていない、そして、あなたがあるセット（集合）を測定する時は、ある追加の構造を定義しなければならない、それは、低レベル学校たち生徒たちであっても学ぶ必要がある。
Special-Student-7-Rebutter
生徒たちが少なくとも理解する必要があることとして、水のかたまりは自動的に何のメジャー（測度）も決定しない: ある体積メジャー（測度）、ある質量メジャー（測度）、カウンティングメジャー（測度）、誰かが考案するかもしれない風変わりなメジャー（測度）があり得て、彼らは、彼らが話そうとするメジャー（測度）をはっきりさせる必要がある。
Special-Student-7-Hypothesizer
それは、本当は当然のことである: 私たちが水のかたまりをどう測定するかを選択することなしに測定の値は現われない、しかし、その知識は、理解が難しいと想定されているようだ。
Special-Student-7-Rebutter
あるセット（集合）に対して複数のメジャー（測度）たちがあり得るので、'セット（集合）'という概念は、どんなメジャー（測度）からも独立して確立されなければならない。そういう思考方法を理解することなしに、数学を本当に理解することはできない。
Special-Student-7-Hypothesizer
実のところ、その思考方法こそが、生徒たちが最も学ばなければならないことなのだが、"彼らはどうせ理解しないだろう。"という口実の下に彼らは甘やかされている。
