空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、その任意の空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、その任意の空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)、それが意味するのは、\(int S = \emptyset\)特に\(int \overline{S} = \emptyset\)、に対して、\(S\)のコンプリメント（補集合）\(T \setminus S\)はデンス（密）である、それが意味するのは、\(\overline{T \setminus S} = T\)。
2: 証明
\(\overline{T \setminus S} = T \setminus int S\)、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(int S = \emptyset\)であるから、\(\overline{T \setminus S} = T\)。\(int \overline{S} = \emptyset\)である時、\(int S = \emptyset\)、なぜなら、 \(\overline{S}\)は\(T\)のなんらのオープンサブセット（開集合）も包含しないから、より小さいかもしれない\(S\)は\(T\)のなんらのオープンサブセット（開集合）も包含しない。
