354: 空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）である

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空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、デンス（密）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、その任意の空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はデンス（密）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、その任意の空インテリア特にノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）$S\subseteq T$、それが意味するのは、$intS=\mathrm{\varnothing }$特に$int\bar{S}=\mathrm{\varnothing }$、に対して、$S$のコンプリメント（補集合）$T\setminus S$はデンス（密）である、それが意味するのは、$\overline{T\setminus S}=T$。

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2: 証明

$\overline{T\setminus S}=T\setminus intS$、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）のインテリア（内部）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。$intS=\mathrm{\varnothing }$であるから、$\overline{T\setminus S}=T$。$int\bar{S}=\mathrm{\varnothing }$である時、$intS=\mathrm{\varnothing }$、なぜなら、 $\bar{S}$は$T$のなんらのオープンサブセット（開集合）も包含しないから、より小さいかもしれない$S$は$T$のなんらのオープンサブセット（開集合）も包含しない。

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参考資料

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