355: オープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）である

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オープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、デンス（密）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、そのオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、その任意のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）$S\subseteq T$、それが意味するのは、$\bar{S}=T$、に対して、$S$のコンプリメント（補集合）$T\setminus S$はノーホエアデンス（どこでも密でない）である、それが意味するのは、$int(\overline{T\setminus S})=\mathrm{\varnothing }$。

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2: 証明

$int(T\setminus S)=T\setminus \bar{S}$、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。$\bar{S}=T$であるから、$int(T\setminus S)=\mathrm{\varnothing }$。$S$はオープン（開）であるから、$T\setminus S$はクローズド（閉）である、そして、$\overline{T\setminus S}=T\setminus S$、したがって、$int(\overline{T\setminus S})=int(T\setminus S)=\mathrm{\varnothing }$。

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参考資料

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