オープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、そのオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）はノーホエアデンス（どこでも密でない）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、その任意のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)、それが意味するのは、\(\overline{S} = T\)、に対して、\(S\)のコンプリメント（補集合）\(T \setminus S\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である、それが意味するのは、\(int (\overline{T \setminus S}) = \emptyset\)。
2: 証明
\(int (T \setminus S) = T \setminus \overline{S}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のコンプリメント（補集合）のインテリア（内部）は当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）のコンプリメント（補集合）であるという命題によって。\(\overline{S} = T\)であるから、\(int (T \setminus S) = \emptyset\)。\(S\)はオープン（開）であるから、\(T \setminus S\)はクローズド（閉）である、そして、\(\overline{T \setminus S} = T \setminus S\)、したがって、\(int (\overline{T \setminus S}) = int (T \setminus S) = \emptyset\)。
