ローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントの周りのネイバーフッド（近傍）内にオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトでネイバーフッド（近傍）に包含されているものがあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ローカルにコンパクトなトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ポイントのネイバーフッド（近傍）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のコンパクトサブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのコンパクトなネイバーフッド（近傍）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題を認めている。
- 読者は、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）サブセット（部分集合）はコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのあるオープンネイバーフッド（開近傍）でそのクロージャー（閉包）がコンパクトで前者ネイバーフッド（近傍）内に包含されているものがある。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のポイント\(p \in T\)、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)に対して、\(p\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)、つまり、クロージャー（閉包）\(\overline{U_p}\)は\(T\)上でコンパクトであり\(N_p\)内に包含されている、つまり、\(U_p \subseteq \overline{U_p} \subseteq N_p\)。
2: 証明
あるコンパクトネイバーフッド（近傍）\(C_p \subseteq T\)で\(N_p\)内に包含されている、つまり、\(C_p \subseteq N_p\)、ものがある、任意のローカルにコンパクトなハウスドルフトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のポイントの周りの任意のネイバーフッド（近傍）の中に、当該ポイントのコンパクトなネイバーフッド（近傍）があるという命題によって。\(C_p\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のハウスドルフトポロジカルスペース（空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はクローズド（閉）であるという命題によって。
あるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T\)で\(C_p\)内に包含されている、つまり、\(U_p \subseteq C_p\)、ものがある。\(\overline{U_p} \subseteq C_p \subseteq N_p\)、なぜなら、\(\overline{U_p}\)は\(U_p\)を包含する最小クローズドセット（閉集合）であり、その一方で、\(C_p\)はそうしたクローズドセット（閉集合）の一つである。\(\overline{U_p}\)は\(C_p\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(C_p\)はコンパクトトポロジカルスペース（空間）である、任意のトポロジカルサブセット（部分集合）のサブセット（部分集合）としてのコンパクト性はサブスペース（部分空間）としてのコンパクト性に等しい という命題によって。\(\overline{U_p}\)は\(C_p\)上でコンパクトである、任意のコンパクトトポロジカルスペース（空間）の任意のクローズド（閉）サブセット（部分集合）はコンパクトであるという命題によって。\(\overline{U_p}\)は\(T\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。
