356: メトリックスペース（計量付き空間）に対して、2つのオープンボール（開球）たちの中のポイントたちの間のディスタンス（距離）は、中心たちの間のディスタンス（距離）マイナス半径たちの合計より大きく中心たちの間のディスタンス（距離）プラス半径たちの合計より小さい

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メトリックスペース（計量付き空間）に対して、2つのオープンボール（開球）たちの中のポイントたちの間のディスタンス（距離）は、中心たちの間のディスタンス（距離）マイナス半径たちの合計より大きく中心たちの間のディスタンス（距離）プラス半径たちの合計より小さいことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意の2ポイントたちでそれらの各々はそれ自身の任意のオープンボール（開球）の中にあるものの間のディスタンス（距離）は、当該オープンボール（開球）たちの中心たちの間のディスタンス（距離）マイナス当該オープンボール（開球）たちの半径たちの合計より大きく当該オープンボール（開球）たちの中心たちの間のディスタンス（距離）プラス当該オープンボール（開球）たちの半径たちの合計より小さいという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のメトリックスペース（計量付き空間）$T$、任意の2つのポイントたち$p_1,p_2\in T$、$p_i$の周りの任意のオープンボール（開球）たち$B_{p_i-{ϵ}_i}$、任意の2つのポイントたち$p_i^{\prime }\in B_{p_i-{ϵ}_i}$に対して、ディスタンス（距離）$dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })$は$dist(p_1,p_2)-({ϵ}_1+{ϵ}_2)<dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })<dist(p_1,p_2)+({ϵ}_1+{ϵ}_2)$を満たす。

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2: 証明

$dist(p_1^{\prime },p_2)\le dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })+dist(p_2^{\prime },p_2)$; $dist(p_1^{\prime },p_2)-dist(p_2^{\prime },p_2)\le dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })$。$dist(p_1,p_2)\le dist(p_1,p_1^{\prime })+dist(p_1^{\prime },p_2)$; $dist(p_1,p_2)-dist(p_1,p_1^{\prime })\le dist(p_1^{\prime },p_2)$。それら2つの結果を加えて、$dist(p_1,p_2)-dist(p_1,p_1^{\prime })-dist(p_2^{\prime },p_2)\le dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })$; $dist(p_1,p_2)-{ϵ}_1-{ϵ}_2<dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })$。

$dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })\le dist(p_1^{\prime },p_2)+dist(p_2,p_2^{\prime })$。$dist(p_1^{\prime },p_2)\le dist(p_1^{\prime },p_1)+dist(p_1,p_2)$。それら2つの結果を加えて、$dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })\le dist(p_1,p_2)+dist(p_1^{\prime },p_1)+dist(p_2,p_2^{\prime })$。$dist(p_1^{\prime },p_2^{\prime })<dist(p_1,p_2)+{ϵ}_1+{ϵ}_2$。

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3: 注

それは、任意のユークリディアンメトリックスペース（計量付き空間）に対しては当然に思われるが、任意のメトリックスペース（計量付き空間）に対して正しい。

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参考資料

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