トポロジカルスペース（空間）のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のデンス（密）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の有限数のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意の有限数のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たち\(\{U_i\vert i \in I\}\)、ここで、\(I\)は任意の有限インデックスたちセット（集合）、に対して、インターセクション（共通集合）\(\cap_{i \in I} U_i\)はオープン（開）デンス（密）である。
2: 証明
\(\cap_{i \in I} U_i\)はオープン（開）である。
\(\cap_{i \in I} U_i\)はデンス（密）ではなかったと仮定しよう。すると、あるポイント\(p \in T \setminus \overline{\cap_{i \in I} U_i}\)があることになる。\(p\)の以下を満たすあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq T\)、つまり、\(U_p \cap \cap_{i \in I} U_i = \emptyset\)、があることになる、なぜなら、\(p\)は\(\cap_{i \in I} U_i\)のアキューミュレーションポイント（集積点）ではないことになる。\(I = \{1, 2, . . ., n\}\)であると仮定しよう、一般性を失うことなく。あるポイント\(p_1 \in U_p \cap U_1\)があることになる、なぜなら、\(p\)は\(U_1\)のポイントであるか、\(U_1\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることになる。\(U_1\)はオープン（開）であることになるから、\(U_p \cap U_1\)は\(p_1\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる、そして、\(p_1\)は\(U_2\)のポイントか\(U_2\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であることになるから、あるポイント\(p_2 \in U_p \cap U_1 \cap U_2\)があることになる、そして、\(U_p \cap U_1 \cap U_2\)は\(p_2\)のオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる、等々。結局、あるポイント\(p_n \in U_p \cap \cap_{i \in I} U_i\)があることになる、矛盾。
