351: トポロジカルスペース（空間）のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）である

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トポロジカルスペース（空間）のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちの有限インターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のデンス（密）サブセット（部分集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意の有限数のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）はオープン（開）デンス（密）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意の有限数のオープン（開）デンス（密）サブセット（部分集合）たち$\{U_i|i\in I\}$、ここで、$I$は任意の有限インデックスたちセット（集合）、に対して、インターセクション（共通集合）${\cap }_{i\in I}{U}_i$はオープン（開）デンス（密）である。

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2: 証明

${\cap }_{i\in I}{U}_i$はオープン（開）である。

${\cap }_{i\in I}{U}_i$はデンス（密）ではなかったと仮定しよう。すると、あるポイント$p\in T\setminus \overline{{\cap }_{i\in I}{U}_i}$があることになる。$p$の以下を満たすあるオープン（開）ネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq T$、つまり、$U_p\cap {\cap }_{i\in I}{U}_i=\mathrm{\varnothing }$、があることになる、なぜなら、$p$は${\cap }_{i\in I}{U}_i$のアキューミュレーションポイント（集積点）ではないことになる。$I=\{1,2,...,n\}$であると仮定しよう、一般性を失うことなく。あるポイント$p_1\in U_p\cap U_1$があることになる、なぜなら、$p$は$U_1$のポイントであるか、$U_1$のアキューミュレーションポイント（集積点）であることになる。$U_1$はオープン（開）であることになるから、$U_p\cap U_1$は$p_1$のオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる、そして、$p_1$は$U_2$のポイントか$U_2$のアキューミュレーションポイント（集積点）であることになるから、あるポイント$p_2\in U_p\cap U_1\cap U_2$があることになる、そして、$U_p\cap U_1\cap U_2$は$p_2$のオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる、等々。結局、あるポイント$p_n\in U_p\cap {\cap }_{i\in I}{U}_i$があることになる、矛盾。

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参考資料

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