2023年8月27日日曜日

352: デデキントカット（切断）のマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）である

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デデキントカット（切断）のマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）であることの記述/証明

話題


About: セット（集合）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のデデキントカット（切断）に対して、そのマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のデデキントカット（切断）rに対して、マイナスデデキントカット（切断）−r:={q∈Q|∃q′q<q′ and −q′∉r}は本当にデデキントカット（切断）である。

2: 証明


−r≠∅および−r≠Qであることを証明しよう。r≠Qであるから、以下を満たすある有理数q1∈Q、つまり、q1∉r、がある。以下を満たす任意のq2∈Q、つまり、q1<q2、に対して、q2∉r。−q2∈−r？以下を満たすある−q3∈Q、つまり、−q2<−q3かつ−−q3=q3∉r、があるか？はい、−q3は−q3=−q1に取れるから。r≠∅であるから、以下を満たすあるq1∈Q、つまり、q1∈r、がある。−q1∉−r？以下を満たす任意の−q2∈Q、つまり、−q1<−q2、に対して、−−q2=q2<q1∈r、したがって、−−q2∈r。したがって、はい。

もしも、q1∈−rである場合、以下を満たす任意のq2∈Q、つまり、q2<q1、に対して、q2∈−r、明らかに。

−rは最大要素を持たないことを証明しよう。−rは最大要素−q1を持っていたと仮定しよう。q1のデデキントカット（切断）をq1~で表わそう、それが意味するのは、q1~={q∈Q|q<q1}。−q1∉−q1~、なぜなら、以下を満たす任意の−q2∈Q、つまり、−q1<−q2、に対して、−−q2=q2<−−q1=q1、したがって、−−q2∈q1~。−q1∈−rであるから、r⊂q1~、なぜなら、−−q2∉r、その一方で、あるq2に対して、−−q2∈q1~ 。以下を満たすある有理数q3∈Q、つまり、r⊂q3~⊂q1~、があることになる、任意の2つのデデキントカット（切断）たちに対して、それらの間にある有理デデキントカット（切断）があるという命題。−q3∈−rであることになるか？以下を満たす−q4∈Q、つまり、−q3<−q4かつ−−q4=q4∉r、があることになるか？r⊂q3~、以下を満たすあるq4∈Q、つまり、q4∉rかつq4∈q3~、それが意味するのは、q4<q3、があることになる、したがって、−q3<−q4。したがって、はい。しかし、q3<q1、したがって、−q1<−q3、−q1が最大要素であることに反する矛盾。

参考資料
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