デデキントカット（切断）のマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、デデキントカット（切断）の定義を知っている。
- 読者は、任意の2つのデデキントカット（切断）たちに対して、それらの間にある有理デデキントカット（切断）があるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のデデキントカット（切断）に対して、そのマイナスデデキントカット（切断）は本当にデデキントカット（切断）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のデデキントカット（切断）\(r\)に対して、マイナスデデキントカット（切断）\(-r:= \{q \in \mathbb{Q}\vert \exists q' q \lt q' \text{ and } -q' \notin r\}\)は本当にデデキントカット（切断）である。
2: 証明
\(-r \neq \emptyset\)および\(-r \neq \mathbb{Q}\)であることを証明しよう。\(r \neq \mathbb{Q}\)であるから、以下を満たすある有理数\(q_1 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(q_1 \notin r\)、がある。以下を満たす任意の\(q_2 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(q_1 \lt q_2\)、に対して、\(q_2 \notin r\)。\(- q_2 \in - r\)？以下を満たすある\(- q_3 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(- q_2 \lt - q_3\)かつ\(- - q_3 = q_3 \notin r\)、があるか？はい、\(- q_3\)は\(- q_3 = - q_1\)に取れるから。\(r \neq \emptyset\)であるから、以下を満たすある\(q_1 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(q_1 \in r\)、がある。\(- q_1 \notin -r\)？以下を満たす任意の\(- q_2 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(- q_1 \lt - q_2\)、に対して、\(- - q_2 = q_2 \lt q_1 \in r\)、したがって、\(- - q_2 \in r\)。したがって、はい。
もしも、\(q_1 \in - r\)である場合、以下を満たす任意の\(q_2 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(q_2 \lt q_1\)、に対して、\(q_2 \in - r\)、明らかに。
\(- r\)は最大要素を持たないことを証明しよう。\(- r\)は最大要素\(- q_1\)を持っていたと仮定しよう。\(q_1\)のデデキントカット（切断）を\(\tilde{q_1}\)で表わそう、それが意味するのは、\(\tilde{q_1} = \{q \in \mathbb{Q}\vert q \lt q_1\}\)。\(- q_1 \notin - \tilde{q_1}\)、なぜなら、以下を満たす任意の\(- q_2 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(- q_1 \lt - q_2\)、に対して、\(- - q_2 = q_2 \lt - - q_1 = q_1\)、したがって、\(- - q_2 \in \tilde{q_1}\)。\(- q_1 \in - r\)であるから、\(r \subset \tilde{q_1}\)、なぜなら、\(- - q_2 \notin r\)、その一方で、ある\(q_2\)に対して、\(- - q_2 \in \tilde{q_1}\) 。以下を満たすある有理数\(q_3 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(r \subset \tilde{q_3} \subset \tilde{q_1}\)、があることになる、任意の2つのデデキントカット（切断）たちに対して、それらの間にある有理デデキントカット（切断）があるという命題。\(- q_3 \in - r\)であることになるか？以下を満たす\(- q_4 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(- q_3 \lt - q_4\)かつ\(- - q_4 = q_4 \notin r\)、があることになるか？\(r \subset \tilde{q_3}\)、以下を満たすある\(q_4 \in \mathbb{Q}\)、つまり、\(q_4 \notin r\)かつ\(q_4 \in \tilde{q_3}\)、それが意味するのは、\(q_4 \lt q_3\)、があることになる、したがって、\(- q_3 \lt - q_4\)。したがって、はい。しかし、\(q_3 \lt q_1\)、したがって、\(- q_1 \lt - q_3\)、\(- q_1\)が最大要素であることに反する矛盾。
