350: n-スフィア（球）はパスコネクテッドである

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n-スフィア（球）はパスコネクテッドであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、n-スフィア（球）の定義を知っている。
• 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）たちのスーパー$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間の以下を満たすあるマップ（写像）、つまり、それは、ドメインマニフォールドの、当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）へリストリクトし（制限され）、そのコーディネートたちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）である、がある場合、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、nスフィア（球）$S^n$はパスコネクテッドであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

nスフィア（球）$S^n$はパスコネクテッドである。

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2: 証明

$S^n$は${\mathbb{R}}^{n+1}$ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）である。任意のポイントたち$p_1,p_2\in S^n$に対して、${\mathbb{R}}^{n+1}$に対する以下を満たすあるグローバルチャート、つまり、原点は$S^n$の中心にあり$p_1=(0,0,...,1)$および$p_2=(0,0,...,sin{\theta }_2,cos{\theta }_2)$、ここで、$0\le {\theta }_2<\pi$、を選ぶことができる。パス$\lambda :[0,1]\to S^n,t\mapsto (0,0,...,sin({\theta }_{2}t),cos({\theta }_{2}t))$、それは、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）としてコンティニュアス（連続）である、を選ぶ。任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）たちのスーパー$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間の以下を満たすあるマップ（写像）、つまり、それは、ドメインマニフォールドの、当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）へリストリクトし（制限され）、そのコーディネートたちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）である、がある場合、という命題によって、$\lambda$は$[0,1]\to S^n$マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である。

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参考資料

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