nスフィア（球）はパスコネクテッドであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、nスフィア（球）の定義を知っている。
- 読者は、パスコネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）たちのスーパー\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間の以下を満たすあるマップ（写像）、つまり、それは、ドメインマニフォールドの、当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）へリストリクトし（制限され）、そのコーディネートたちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）である、がある場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、nスフィア（球）\(S^n\)はパスコネクテッドであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
nスフィア（球）\(S^n\)はパスコネクテッドである。
2: 証明
\(S^n\)は\(\mathbb{R}^{n + 1}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のサブスペース（部分空間）である。任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in S^n\)に対して、\(\mathbb{R}^{n + 1}\)に対する以下を満たすあるグローバルチャート、つまり、原点は\(S^n\)の中心にあり\(p_1 = (0, 0, . . ., 1)\)および\(p_2 = (0, 0, . . ., sin \theta_2, cos \theta_2)\)、ここで、\(0 \leq \theta_2 \lt \pi\)、を選ぶことができる。パス\(\lambda: [0, 1] \rightarrow S^n, t \mapsto (0, 0, . . ., sin (\theta_2 t), cos (\theta_2 t))\)、それは、コーディネート（座標）たちファンクション（関数）としてコンティニュアス（連続）である、を選ぶ。任意のトポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）は任意のポイントにおいてコンティニュアス（連続）である、もしも、当該トポロジカルスペース（空間）たちのスーパー\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちおよびそれら間の以下を満たすあるマップ（写像）、つまり、それは、ドメインマニフォールドの、当該ポイントの周りのあるチャートオープンセット（開集合）上で元のマップ（写像）へリストリクトし（制限され）、そのコーディネートたちファンクション（関数）がコンティニュアス（連続）である、がある場合、という命題によって、\(\lambda\)は\([0, 1] \rightarrow S^n\)マップ（写像）としてコンティニュアス（連続）である。
