グループ（群）、シンメトリックサブセット（対称的部分集合）、グループ（群）の要素、サブセット（部分集合）に対して、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を右または左から掛けたものとシンメトリックサブセット（対称的部分集合）にサブセット（部分集合）を右または左から掛けたものはディスジョイント（互いに素）である、もしも、要素にシンメトリックサブセット（対称的部分集合）を左および右から掛けたものとサブセット（部分集合）がディスジョイント（互いに素）である場合、ことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）たちのマルチプリケーション（乗法）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）のシンメトリックサブセット（対称的部分集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 任意のグループ（群）、当該グループ（群）の任意のシンメトリックサブセット（対称的部分集合）、当該グループ（群）の任意の要素、当該グループ（群）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該要素に当該シンメトリックサブセット（対称的部分集合）を右または左から掛けたものと当該シンメトリックサブセット（対称的部分集合）に当該サブセット（部分集合）をそれぞれ右または左から掛けたものはディスジョイント（互いに素）である、もしも、当該要素に当該シンメトリックサブセット（対称的部分集合）を左および右から掛けたものと当該サブセット（部分集合）がディスジョイント（互いに素）である場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のグループ（群）\(G\)、任意のシンメトリックサブセット（対称的部分集合）\(S_1 \subseteq G\)、任意の要素\(p \in G\)、任意のサブセット（部分集合）\(S_2 \subseteq G\)に対して、\(p S_1 \cap S_1 S_2 = \emptyset\)および\(S_1 p \cap S_2 S_1 = \emptyset\)、もしも、\((S_1 p S_1) \cap S_2 = \emptyset\)である場合。
2: 証明
これ以降、\((S_1 p S_1) \cap S_2 = \emptyset\)であると仮定しよう。
\(p S_1 \cap S_1 S_2 \neq \emptyset\)であったと仮定しよう。\(p s_{11} = s_{12} s_2\)、ここで、\(s_{11}, s_{12} \in S_1\)および\(s_2 \in S_2\)。\({s_{12}}^{-1} p s_{11} = s_2\)、それが意味するのは、\((S_1 p S_1) \cap S_2 \neq \emptyset\)、矛盾。
\(S_1 p \cap S_2 S_1 \neq \emptyset\)であったと仮定しよう。\(s_{11} p = s_2 s_{12}\)、ここで、\(s_{11}, s_{12} \in S_1\)および\(s_2 \in S_2\)。\(s_{11} p {s_{12}}^{-1} = s_2\)、それが意味するのは、\((S_1 p S_1) \cap S_2 \neq \emptyset\)、矛盾。
