339: ノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、コセット（剰余類）たちのセット（集合）はグループ（群）を形成する|T.B.P.日本語版

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ノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、コセット（剰余類）たちのセット（集合）はグループ（群）を形成することの記述/証明

話題

About: グループ（群）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明

開始コンテキスト

読者は、グループ（群）の要素によるサブグループ（部分群）の左または右コセット（剰余類）の定義を知っている。
読者は、任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、全コセット（剰余類）たちのセット（集合）は、カノニカル（自然）なマルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）を持つグループ（群）を形成するという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意のグループ（群）

G_{1}

、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）

G_{2} \subseteq G_{1}

、左または右コセット（剰余類）マップ（写像）

π : G_{1} \to G_{1} / G_{2}

に対して、全コセット（剰余類）たちのセット（集合）

G_{1} / G_{2}

は、カノニカル（自然）なマルチプリケーション（乗法）、それぞれ、

⟨ p_{1} G_{2}, p_{2} G_{2} ⟩ \mapsto p_{1} p_{2} G_{2}

または

⟨ G_{2} p_{1}, G_{2} p_{2} ⟩ \mapsto G_{2} p_{1} p_{2}

、およびカノニカル（自然）なインバース（逆）、それぞれ、

p G_{2} \mapsto p^{- 1} G_{2}

または

G_{2} p \mapsto G_{2} p^{- 1}

、を持つグループ（群）を形成する。

2: 証明

それを左コセット（剰余類）マップ（写像）に対して証明しよう。当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、

p_{11} G_{2} = p_{12} G_{2}

かつ

p_{21} G_{2} = p_{22} G_{2}

である時、

p_{11} p_{21} G_{2} = p_{12} p_{22} G_{2}

であるという問題である、を証明しよう。任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって、それは、

p_{11} p_{21} \in p_{12} p_{22} G_{2} = p_{12} p_{21} G_{2}

であるという問題である。ある

q_{1} \in G_{2}

に対して、

p_{11} = p_{12} q_{1}

であるが、

p_{11} p_{21} = p_{12} q_{1} p_{21} \in p_{12} p_{21} G_{2}

か？以下を満たすある

q \in G_{2}

、つまり、

p_{12} q_{1} p_{21} = p_{12} p_{21} q

、があるか？

q_{1} p_{21} = p_{21} q

？

{p_{21}}^{- 1} q_{1} p_{21} = q

？はい、なぜなら、

G_{2}

はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。

当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、

(p_{1} G_{2} p_{2} G_{2}) p_{3} G_{3} = p_{1} p_{2} G_{2} p_{3} G_{2} = p_{1} p_{2} p_{3} G_{2} = p_{1} G_{2} p_{2} p_{3} G_{2} = p_{1} G_{2} (p_{2} G_{2} p_{3} G_{2})

。

当該インバージョン（逆）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、

p_{1} G_{2} = p_{2} G_{2}

である時、

{p_{1}}^{- 1} G_{2} = {p_{2}}^{- 1} G_{2}

{p_{1}}^{- 1} \in {p_{2}}^{- 1} G_{2}

であるという問題である。ある

q \in G_{2}

、

{p_{1}}^{- 1} = {p_{2}}^{- 1} q

があるか？ある

q_{1} \in G_{2}

に対して、

p_{1} = p_{2} q_{1}

であるが、

{p_{1}}^{- 1} = {q_{1}}^{- 1} {p_{2}}^{- 1}

および

{p_{1}}^{- 1} = {q_{1}}^{- 1} {p_{2}}^{- 1} = {p_{2}}^{- 1} q

？

p_{2} {q_{1}}^{- 1} {p_{2}}^{- 1} = q

？はい、なぜなら、

G_{2}

はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。

G_{2}

はアイデンティ（単位）要素である、なぜなら、

G_{2} p_{1} G_{2} = e p_{1} G_{2} = p_{1} G_{2} = p_{1} e G_{2} = p_{1} G_{2} G_{2}

。

{p_{1}}^{- 1} G_{2}

は

p_{1} G_{2}

のインバース（逆）である、なぜなら、

{p_{1}}^{- 1} G_{2} p_{1} G_{2} = {p_{1}}^{- 1} p_{1} G_{2} = e G_{2} = G_{2} = e G_{2} = p_{1} {p_{1}}^{- 1} G_{2} = p_{1} G_{2} {p_{1}}^{- 1} G_{2}

。

それを、右コセット（剰余類）マップ（写像）に対して証明しよう。

当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、

G_{2} p_{11} = G_{2} p_{12}

かつ

G_{2} p_{21} = G_{2} p_{22}

である時、

G_{2} p_{11} p_{21} = G_{2} p_{12} p_{22}

p_{11} p_{21} \in G_{2} p_{12} p_{22} = G_{2} p_{11} p_{22}

であるという問題である。ある

q_{1} \in G_{2}

に対して、

p_{21} = q_{1} p_{22}

であるが、

p_{11} p_{21} = p_{11} q_{1} p_{22} \in G_{2} p_{11} p_{22}

？以下を満たすある

q \in G_{2}

、つまり、

p_{11} q_{1} p_{22} = q p_{11} p_{22}

、があるか？

p_{11} q_{1} = q p_{11}

？

p_{11} q_{1} {p_{11}}^{- 1} = q

？はい、なぜなら、

G_{2}

はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。

当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、

(G_{2} p_{1} G_{2} p_{2}) G_{3} p_{3} = G_{2} p_{1} p_{2} G_{2} p_{3} = G_{2} p_{1} p_{2} p_{3} = G_{2} p_{1} G_{2} p_{2} p_{3} = G_{2} p_{1} (G_{2} p_{2} G_{2} p_{3})

。

当該インバージョン（逆）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、

G_{2} p_{1} = G_{2} p_{2}

である時、

G_{2} {p_{1}}^{- 1} = G_{2} {p_{2}}^{- 1}

{p_{1}}^{- 1} \in G_{2} {p_{2}}^{- 1}

であるという問題である。ある

q \in G_{2}

、

{p_{1}}^{- 1} = q {p_{2}}^{- 1}

があるか？ある

q_{1} \in G_{2}

に対して、

p_{1} = q_{1} p_{2}

であるが、

{p_{1}}^{- 1} = {p_{2}}^{- 1} {q_{1}}^{- 1}

および

{p_{1}}^{- 1} = {p_{2}}^{- 1} {q_{1}}^{- 1} = q {p_{2}}^{- 1}

？

{p_{2}}^{- 1} {q_{1}}^{- 1} p_{2} = q

？はい、なぜなら、

G_{2}

はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。

G_{2}

はアイデンティ（単位）要素である、なぜなら、

G_{2} G_{2} p_{1} = G_{2} e p_{1} = G_{2} p_{1} = G_{2} p_{1} e = G_{2} p_{1} G_{2}

。

G_{2} {p_{1}}^{- 1}

は

G_{2} p_{1}

のインバース（逆）である、なぜなら、

G_{2} {p_{1}}^{- 1} G_{2} p_{1} = G_{2} {p_{1}}^{- 1} p_{1} = G_{2} e = G_{2} = G_{2} e = G_{2} p_{1} {p_{1}}^{- 1} = G_{2} p_{1} G_{2} {p_{1}}^{- 1}

。

参考資料

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定義たちと命題たち
学校数学をより高い視点から
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2023年8月6日日曜日