ノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、コセット（剰余類）たちのセット（集合）はグループ（群）を形成することの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）に関して、全コセット（剰余類）たちのセット（集合）は、カノニカル（自然）なマルチプリケーション（乗法）およびインバージョン（逆）を持つグループ（群）を形成するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のグループ（群）\(G_1\)、任意のノーマル（正規）サブグループ（部分群）\(G_2 \subseteq G_1\)、左または右コセット（剰余類）マップ（写像）\(\pi: G_1 \rightarrow G_1/G_2\)に対して、全コセット（剰余類）たちのセット（集合）\(G_1/G_2\)は、カノニカル（自然）なマルチプリケーション（乗法）、それぞれ、\(\langle p_1 G_2, p_2 G_2 \rangle \mapsto p_1 p_2 G_2\)または\(\langle G_2 p_1, G_2 p_2 \rangle \mapsto G_2 p_1 p_2\)、およびカノニカル（自然）なインバース（逆）、それぞれ、\(p G_2 \mapsto p^{-1} G_2\)または\(G_2 p \mapsto G_2 p^{-1}\)、を持つグループ（群）を形成する。
2: 証明
それを左コセット（剰余類）マップ（写像）に対して証明しよう。
当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、\((p_1 G_2 p_2 G_2) p_3 G_3 = p_1 p_2 G_2 p_3 G_2 = p_1 p_2 p_3 G_2 = p_1 G_2 p_2 p_3 G_2 = p_1 G_2 (p_2 G_2 p_3 G_2)\)。
当該インバージョン（逆）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、\(p_1 G_2 = p_2 G_2\)である時、\({p_1}^{-1} G_2 = {p_2}^{-1} G_2\)であるという問題である、を証明しよう。任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって、それが、\({p_1}^{-1} \in {p_2}^{-1} G_2\)であるという問題である。ある\(q \in G_2\)、\({p_1}^{-1} = {p_2}^{-1} q\)があるか？ある\(q_1 \in G_2\)に対して、\(p_1 = p_2 q_1\)であるが、\({p_1}^{-1} = {q_1}^{-1} {p_2}^{-1}\)および\({p_1}^{-1} = {q_1}^{-1} {p_2}^{-1} = {p_2}^{-1} q\)？\(p_2 {q_1}^{-1} {p_2}^{-1} = q\)？はい、なぜなら、\(G_2\)はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。
\(G_2\)はアイデンティ（単位）要素である、なぜなら、\(G_2 p_1 G_2 = e p_1 G_2 = p_1 G_2 = p_1 e G_2 = p_1 G_2 G_2\)。
\({p_1}^{-1} G_2\)は\(p_1 G_2\)のインバース（逆）である、なぜなら、\({p_1}^{-1} G_2 p_1 G_2 = {p_1}^{-1} p_1 G_2 = e G_2 = G_2 = e G_2 = p_1 {p_1}^{-1} G_2 = p_1 G_2 {p_1}^{-1} G_2\)。
それを、右コセット（剰余類）マップ（写像）に対して証明しよう。
当該マルチプリケーション（乗法）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、\(G_2 p_{11} = G_2 p_{12}\)かつ\(G_2 p_{21} = G_2 p_{22}\)である時、\(G_2 p_{11} p_{21} = G_2 p_{12} p_{22}\)であるという問題である、を証明しよう。任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって、それは、\(p_{11} p_{21} \in G_2 p_{12} p_{22} = G_2 p_{11} p_{22}\)であるという問題である。ある\(q_1 \in G_2\)に対して、\(p_{21} = q_1 p_{22}\)であるが、\(p_{11} p_{21} = p_{11} q_1 p_{22} \in G_2 p_{11} p_{22}\)？以下を満たすある\(q \in G_2\)、つまり、\(p_{11} q_1 p_{22} = q p_{11} p_{22}\)、があるか？\(p_{11} q_1 = q p_{11}\)？\(p_{11} q_1 {p_{11}}^{-1} = q\)？はい、なぜなら、\(G_2\)はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。
当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、\((G_2 p_1 G_2 p_2) G_3 p_3 = G_2 p_1 p_2 G_2 p_3 = G_2 p_1 p_2 p_3 = G_2 p_1 G_2 p_2 p_3 = G_2 p_1 (G_2 p_2 G_2 p_3)\)。
当該インバージョン（逆）はウェルデファインド（正当に定義されている）こと、それは、\(G_2 p_1 = G_2 p_2\)である時、\(G_2 {p_1}^{-1} = G_2 {p_2}^{-1}\)であるという問題である、を証明しよう。任意のサブグループ（部分群）に関して、グループ（群）の任意の要素によるコセット（剰余類）はあるコセット（剰余類）に等しい、もしも、当該要素が後者コセット（剰余類）の要素である場合、そしてその場合に限って、それらが左コセット（剰余類）たちであろうが右コセット（剰余類）たちであろうと、という命題によって、それは、\({p_1}^{-1} \in G_2 {p_2}^{-1}\)であるという問題である。ある\(q \in G_2\)、\({p_1}^{-1} = q {p_2}^{-1}\)があるか？ある\(q_1 \in G_2\)に対して、\(p_1 = q_1 p_2\)であるが、\({p_1}^{-1} = {p_2}^{-1} {q_1}^{-1}\)および\({p_1}^{-1} = {p_2}^{-1} {q_1}^{-1} = q {p_2}^{-1}\)？\({p_2}^{-1} {q_1}^{-1} {p_2} = q\)？はい、なぜなら、\(G_2\)はノーマル（正規）サブグループ（部分群）であるから。
\(G_2\)はアイデンティ（単位）要素である、なぜなら、\(G_2 G_2 p_1 = G_2 e p_1 = G_2 p_1 = G_2 p_1 e = G_2 p_1 G_2\)。
\(G_2 {p_1}^{-1}\)は\(G_2 p_1\)のインバース（逆）である、なぜなら、\(G_2 {p_1}^{-1} G_2 p_1 = G_2 {p_1}^{-1} p_1 = G_2 e = G_2 = G_2 e = G_2 p_1 {p_1}^{-1} = G_2 p_1 G_2 {p_1}^{-1}\)。
