C^\inftyマニフォールド（多様体）上のC^\inftyファンクション（関数）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyであることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）は当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M'\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M \subseteq M'\)に対して、任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f: M' \rightarrow \mathbb{R}\)は\(M\)上で\(C^\infty\)である、それが意味するのは、リストリクション（制限）\(f\vert_M: M \rightarrow \mathbb{R}\)は\(C^\infty\)である。
2: 証明
任意の\(p \in M\)に対して、あるアダプテッドチャート\((U'_p \subseteq M', \phi'_p)\)があり、\(f \circ {\phi'_p}^{-1}\)は\(C^\infty\)である。対応するアダプティングチャート\((U_p, \phi_p)\)があり、\(f\vert_M \circ {\phi_p}^{-1}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(f\vert_M \circ {\phi_p}^{-1} (r^1, r^2., ..., r^{d}) = f \circ {\phi'_p}^{-1} (r^1, r^2., ..., r^{d}, 0, ..., 0)\)。
