369: C^\inftyマニフォールド（多様体）上のC^\inftyファンクション（関数）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyである

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C^\inftyマニフォールド（多様体）上のC^\inftyファンクション（関数）はレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyであることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）は当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）$M^{\prime }$、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）$M\subseteq M^{\prime }$に対して、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f:M^{\prime }\to \mathbb{R}$は$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、それが意味するのは、リストリクション（制限）$f{|}_M:M\to \mathbb{R}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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2: 証明

任意の$p\in M$に対して、あるアダプテッドチャート$(U_p^{\prime }\subseteq M^{\prime },{\varphi }_p^{\prime })$があり、$f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。対応するアダプティングチャート$(U_p,{\varphi }_p)$があり、$f{|}_M\circ {{\varphi }_p}^{-1}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$f{|}_M\circ {{\varphi }_p}^{-1}(r^1,r^2.,...,r^d)=f\circ {{\varphi }_p^{\prime }}^{-1}(r^1,r^2.,...,r^d,0,...,0)$。

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参考資料

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