368: C^\inftyベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）はC^\inftyベクトルたちバンドル（束）である

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）の定義.
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）から任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）への任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）の当該トランスバーサル（横断）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該ドメイン（定義域）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題を認めている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
• 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意の2つの$C^{\mathrm{\infty }}$ マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つが任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトは元のプロダクトのレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベクトルたちバンドル（束）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$\pi :M_1\to M_2$、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）$M_3\subseteq M_2$に対して、$\pi$の$M_3$についてのリストリクション（制限）${\pi }_{M_3}:{\pi }^{-1}(M_3)\to M_3$は$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）である。

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2: 証明

$\pi$はサブマージョンである、$\pi$は$M_3$へのトランスバーサル（横断）マップ（写像）である、そして、${\pi }^{-1}(M_3)$は$M_1$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である、レギュラーサブマニフォールド（多様体）のトランスバーサル（横断）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）として、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）から任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）への任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）の当該トランスバーサル（横断）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該ドメイン（定義域）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって。

${\pi }_{M_3}$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）として、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。${\pi }_{M_3}$は明らかにサージェクティブ（全射）である。

任意の$p\in M_3$に対して、${{\pi }_{M_3}}^{-1}(p)$はリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、${{\pi }_{M_3}}^{-1}(p)={\pi }^{-1}(p)$。

任意の$p\in M_3$に対して、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_p\subseteq M_2$、つまり、あるファイバー維持ディフェオモーフィズム$f^{\prime }:{\pi }^{-1}(U_p)\to U_p\times {\mathbb{R}}^r$がある、がある。ファイバー維持バイジェクション（全単射）$f=f^{\prime }{|}_{{\pi }^{-1}(U_p\cap M_3)}:{\pi }^{-1}(U_p\cap M_3)\to (U_p\cap M_3)\times {\mathbb{R}}^r$がある、なぜなら、$f^{\prime }$はファイバー維持である。

$f$はディフェオモーフィックであるか？${\pi }^{-1}(U_p)$は$M_1$のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、$\pi$はコンティニュアス（連続）である、そして、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって。$U_p\times {\mathbb{R}}^r$は$M_2\times {\mathbb{R}}^r$のオープンサブセット（開部分集合）であり、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）である、同様に。

${\pi }^{-1}(U_p\cap M_3)={\pi }^{-1}(U_p)\cap {\pi }^{-1}(M_3)$、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。したがって、${\pi }^{-1}(U_p\cap M_3)$は${\pi }^{-1}(U_p)$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって。$(U_p\cap M_3)\times {\mathbb{R}}^r=(U_p\times {\mathbb{R}}^r)\cap (M_3\times {\mathbb{R}}^r)$、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって、そして、$M_3\times {\mathbb{R}}^r$は$M_2\times {\mathbb{R}}^r$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である、任意の2つの$C^{\mathrm{\infty }}$ マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つが任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトは元のプロダクトのレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって、そして、$(U_p\cap M_3)\times {\mathbb{R}}^r$は$U_p\times {\mathbb{R}}^r$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）によって、同様に。

したがって、$f=f^{\prime }{|}_{{\pi }^{-1}(U_p\cap M_3)}:{\pi }^{-1}(U_p\cap M_3)\to (U_p\cap M_3)\times {\mathbb{R}}^r$は$C^{\mathrm{\infty }}$ $f^{\prime }$の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）であり、$C^{\mathrm{\infty }}$である、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。$f$はバイジェクション（全単射）であるので、インバース（逆）$f^{-1}$があるが、それは、$C^{\mathrm{\infty }}$である$f^{\prime -1}$の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）であり、$C^{\mathrm{\infty }}$である、同様に。

任意のポイント$p^{\prime }\in U_p\cap M_3$に対して、$f{|}_{{\pi }^{-1}(p^{\prime })}:{\pi }^{-1}(p^{\prime })\to \{p^{\prime }\}\times {\mathbb{R}}^r$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、それは$f^{\prime }{|}_{{\pi }^{-1}(p^{\prime })}$と同じだから。

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参考資料

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