\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）の定義.
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）から任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）への任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）の当該トランスバーサル（横断）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該ドメイン（定義域）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題を認めている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題を認めている。
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意の2つの\(C^\infty\) マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つが任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトは元のプロダクトのレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、当該ベクトルたちバンドル（束）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ベーススペース（底空間）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\(\pi: M_1 \rightarrow M_2\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_3 \subseteq M_2\)に対して、\(\pi\)の\(M_3\)についてのリストリクション（制限）\(\pi_{M_3}: \pi^{-1} (M_3) \rightarrow M_3\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）である。
2: 証明
\(\pi\)はサブマージョンである、\(\pi\)は\(M_3\)へのトランスバーサル（横断）マップ（写像）である、そして、\(\pi^{-1} (M_3)\)は\(M_1\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である、レギュラーサブマニフォールド（多様体）のトランスバーサル（横断）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）として、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）から任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）への任意のトランスバーサル（横断）マップ（写像）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）の当該トランスバーサル（横断）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）は当該ドメイン（定義域）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって。
\(\pi_{M_3}\)は\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マップ（写像）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）として、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であるという命題によって。\(\pi_{M_3}\)は明らかにサージェクティブ（全射）である。
任意の\(p \in M_3\)に対して、\({\pi_{M_3}}^{-1} (p)\)はリアル（実）ベクトルたちスペース（空間）である、なぜなら、\({\pi_{M_3}}^{-1} (p) = \pi^{-1} (p)\)。
任意の\(p \in M_3\)に対して、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq M_2\)、つまり、あるファイバー維持ディフェオモーフィズム\(f': \pi^{-1} (U_p) \rightarrow U_p \times \mathbb{R}^r\)がある、がある。ファイバー維持バイジェクション（全単射）\(f = f'\vert_{\pi^{-1} (U_p \cap M_3)}: \pi^{-1} (U_p \cap M_3) \rightarrow (U_p \cap M_3) \times \mathbb{R}^r\)がある、なぜなら、\(f'\)はファイバー維持である。
\(f\)はディフェオモーフィックであるか？\(\pi^{-1} (U_p)\)は\(M_1\)のオープンサブセット（開部分集合）である、なぜなら、\(\pi\)はコンティニュアス（連続）である、そして、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって。\(U_p \times \mathbb{R}^r\)は\(M_2 \times \mathbb{R}^r\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）である、同様に。
\(\pi^{-1} (U_p \cap M_3) = \pi^{-1} (U_p) \cap \pi^{-1} (M_3)\)、任意のマップ（写像）に対して、任意の、セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）、のマップ（写像）プリイメージ（前像）はそれらセット（集合）たちのマップ（写像）プリイメージ（前像）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題によって。したがって、\(\pi^{-1} (U_p \cap M_3)\)は\(\pi^{-1} (U_p)\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）の任意のオープンサブセット（開部分集合）はカノニカル（自然）に\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）であり、当該オープンサブセット（開部分集合）と当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）のインターセクション（共通集合）は当該オープンサブセット（開部分集合）マニフォールド（多様体）のレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって。\((U_p \cap M_3) \times \mathbb{R}^r = (U_p \times \mathbb{R}^r) \cap (M_3 \times \mathbb{R}^r)\)、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって、そして、\(M_3 \times \mathbb{R}^r\)は\(M_2 \times \mathbb{R}^r\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である、任意の2つの\(C^\infty\) マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つが任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトは元のプロダクトのレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題によって、そして、\((U_p \cap M_3) \times \mathbb{R}^r\)は\(U_p \times \mathbb{R}^r\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）によって、同様に。
したがって、\(f = f'\vert_{\pi^{-1} (U_p \cap M_3)}: \pi^{-1} (U_p \cap M_3) \rightarrow (U_p \cap M_3) \times \mathbb{R}^r\)は\(C^\infty\) \(f'\)の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）であり、\(C^\infty\)である、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）および任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であるという命題によって。\(f\)はバイジェクション（全単射）であるので、インバース（逆）\(f^{-1}\)があるが、それは、\(C^\infty\)である\(f'^{-1}\)の、レギュラーサブマニフォールド（多様体）ドメイン（定義域）およびレギュラーサブマニフォールド（多様体）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）であり、\(C^\infty\)である、同様に。
任意のポイント\(p' \in U_p \cap M_3\)に対して、\(f \vert_{{\pi}^{-1} (p')}: {\pi}^{-1} (p') \to \{p'\} \times \mathbb{R}^r\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、それは\(f' \vert_{{\pi}^{-1} (p')}\)と同じだから。
