ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、スタンダード（標準）チャートに関するそのコンポーネントたちがレギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアン(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、当該ユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）上のスタンダード（標準）チャートに関する当該ベクトルたちフィールド（場）のコンポーネントたちが当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアン\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(\mathbb{R}^n\)、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M \subseteq \mathbb{R}^n\)に対して、\(M\)に沿った任意のベクトルたちフィールド\(V = V^i (p \in M) \partial_i\)、ここで、\(\{\partial_i\}\)は\(\mathbb{R}^n\)上のスタンダード（標準）チャートによる\(T_p\mathbb{R}^n\)のカノニカル（自然な）ベーシス（基底）、は\(C^\infty\)である、もしも、\(V^i (p \in M)\)が\(M\)上で\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(V\)は\(C^\infty\)であると仮定しよう。\(\mathbb{R}^n\)上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f\)に対して、\(V f\)は\(M\)上で\(C^\infty\)である、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）の定義によって。\(V f = V^i (p \in M) \frac{\partial f}{\partial_i}\)、しかし、\(f\)はコーディネート（座標）ファンクション（関数）\(r^i\)に取ることができる、すると、\(V r^i = V^i (p \in M)\)、それは、\(M\)上で\(C^\infty\)である。
\(V^i (p \in M)\)は\(M\)上で\(C^\infty\)であると仮定しよう。すると、\(V f = V^i (p \in M) \frac{\partial f}{\partial_i}\)は\(M\)上で\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\frac{\partial f}{\partial_i}\)は\(\mathbb{R}^n\)上で\(C^\infty\)である、そして、\(M\)上で\(C^\infty\)である、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）は当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で\(C^\infty\)であるという命題によって。
