370: ユークリディアンC^\inftyマニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）はC^\inftyである、もしも、スタンダード（標準）チャートに関するそのコンポーネントたちがレギュラーサブマニフォールド（多様体）上でC^\inftyである場合、そしてその場合に限って

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ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、そのレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、スタンダード（標準）チャートに関するそのコンポーネントたちがレギュラーサブマニフォールド（多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、a definition of レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）は当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のユークリディアン(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿った任意のベクトルたちフィールド（場）は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、当該ユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）上のスタンダード（標準）チャートに関する当該ベクトルたちフィールド（場）のコンポーネントたちが当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のユークリディアン$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）${\mathbb{R}}^n$、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）$M\subseteq {\mathbb{R}}^n$に対して、$M$に沿った任意のベクトルたちフィールド$V=V^i(p\in M){\partial }_i$、ここで、$\{{\partial }_i\}$は${\mathbb{R}}^n$上のスタンダード（標準）チャートによる$T_p{\mathbb{R}}^n$のカノニカル（自然な）ベーシス（基底）、は$C^{\mathrm{\infty }}$である、もしも、$V^i(p\in M)$が$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$V$は$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。${\mathbb{R}}^n$上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）$f$に対して、$Vf$は$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿った$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）の定義によって。$Vf=V^i(p\in M)\frac{\partial f}{{\partial }_i}$、しかし、$f$はコーディネート（座標）ファンクション（関数）$r^i$に取ることができる、すると、$V{r}^i=V^i(p\in M)$、それは、$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$V^i(p\in M)$は$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$であると仮定しよう。すると、$Vf=V^i(p\in M)\frac{\partial f}{{\partial }_i}$は$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$\frac{\partial f}{{\partial }_i}$は${\mathbb{R}}^n$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、そして、$M$上で$C^{\mathrm{\infty }}$である、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該スーパーマニフォールド（多様体）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ファンクション（関数）は当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上で$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題によって。

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参考資料

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