360: レギュラーサブマニフォールド（多様体）上のC^\inftyベクトルたちフィールド（場）はスーパーマニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）としてC^\inftyである|T.B.P.日本語版

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レギュラーサブマニフォールド（多様体）上の

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）はスーパーマニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）として

C^{\infty}

であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ ベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
読者は、スーパー $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）の定義を知っている。
読者は、任意のベクトルたちフィールド（場）は $C^{\infty}$ である、もしも、任意のチャート上におけるそのコンポーネントたちファンクション（関数）が $C^{\infty}$ である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意の $C^{\infty}$ ベクトルたちフィールド（場）は当該スーパーマニフォールド（多様体）上の当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）として $C^{\infty}$ であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）

M_{1}

、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）

M_{2} \subseteq M_{1}

に対して、任意の

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）

V \in X (M_{2})

は

M_{1}

上の

M_{2}

に沿った

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）である、つまり、

π_{*} V \in Γ (T M_{1} | M_{2})

、ここで、

π : M_{2} \to M_{1}

はインクルージョン（封入）。

2: 証明

M_{1}

上にあるアダプテッドチャート、

M_{2}

上に対応するアダプティングチャートがある。当該アダプティングチャート上で

V = V^{i} \partial_{i}

、ここで、

0 \leq i \leq d_{2}

、ここで、

d_{2}

は

M_{2}

のディメンジョン（次元）で

V^{i}

は

C^{\infty}

ファンクション（関数）、任意のベクトルたちフィールド（場）は

C^{\infty}

である、もしも、任意のチャート上におけるそのコンポーネントたちファンクション（関数）が

C^{\infty}

である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。当該の、

M_{1}

上の

M_{2}

に沿ったベクトルたちフィールド（場）はプッシュフォワード

π_{*} V

であり、当該アダプテッドチャートによって

π_{*} V = V^{i} \partial_{i} + \sum_{j} 0 \partial_{j}

、ここで、

d_{2} + 1 \leq j \leq d_{1}

、ここで、

d_{1}

は

M_{1}

のディメンジョン（次元）である。任意の

C^{\infty}

ファンクション（関数）

f \in C^{\infty} (M_{1})

に対して、

(π_{*} V) (f) = V^{i} \partial_{i} f

、それは

M_{2}

上の

C^{\infty}

ファンクション（関数）である、それが意味するのは、

π_{*} V

は

M_{1}

上の

M_{2}

に沿った

C^{\infty}

ベクトルたちフィールド（場）であるということ、定義によって。

参考資料

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2023年9月3日日曜日

話題

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト

オリエンテーション

本体

1: 記述

2: 証明

参考資料