レギュラーサブマニフォールド（多様体）上の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）はスーパーマニフォールド（多様体）上のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）として\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、その任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）に対して、当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）上の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）は当該スーパーマニフォールド（多様体）上の当該レギュラーサブマニフォールド（多様体）に沿ったベクトルたちフィールド（場）として\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M_1\)、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(M_2 \subseteq M_1\)に対して、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）\(V \in \mathfrak{X} (M_2)\)は\(M_1\)上の\(M_2\)に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）である、つまり、\(\pi_* V \in \Gamma (T M_1\vert M_2)\)、ここで、\(\pi: M_2 \rightarrow M_1\)はインクルージョン（封入）。
2: 証明
\(M_1\)上にあるアダプテッドチャート、\(M_2\)上に対応するアダプティングチャートがある。当該アダプティングチャート上で\(V = V^i \partial_i\)、ここで、\(0 \leq i \leq d_2\)、ここで、\(d_2\)は\(M_2\)のディメンジョン（次元）で\(V^i\)は\(C^\infty\)ファンクション（関数）、任意のベクトルたちフィールド（場）は\(C^\infty\)である、もしも、任意のチャート上におけるそのコンポーネントたちファンクション（関数）が\(C^\infty\)である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。当該の、\(M_1\)上の\(M_2\)に沿ったベクトルたちフィールド（場）はプッシュフォワード\(\pi_* V\)であり、当該アダプテッドチャートによって\(\pi_* V = V^i \partial_i + \sum_j 0 \partial_j\)、ここで、\(d_2 + 1 \leq j \leq d_1\)、ここで、\(d_1\)は\(M_1\)のディメンジョン（次元）である。任意の\(C^\infty\)ファンクション（関数）\(f \in C^\infty (M_1)\)に対して、\((\pi_* V) (f) = V^i \partial_i f\)、それは\(M_2\)上の\(C^\infty\)ファンクション（関数）である、それが意味するのは、\(\pi_* V\)は\(M_1\)上の\(M_2\)に沿った\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）であるということ、定義によって。
