トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のファイナイト（有限）数ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たち\(\{S_i\vert i \in I\}\)、ここで、\(I\)は任意のファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、ユニオン（和集合）\(S = \cup_{i \in I} S_i\)に対して、当該ユニオン（和集合）のインテリア（内部）\(int S\)は空である、つまり、\(int S = \emptyset\)。
2: 証明
\(int S \neq \emptyset\)であると仮定しよう。あるオープンセット（開集合）\(U \subseteq S\)があることになる。\(\lnot U \subseteq \overline{S_1}\)、なぜなら、\(S_1\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）である。以下を満たす あるポイント\(p_1 \in U\) 、つまり、\(p_1 \notin \overline{S_1}\)、があることになる。\(p_1 \notin S_1\)は\(S_1\)のアキューミュレーションポイント（集積点）ではないことになるので、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{p_1} \subseteq T\)、つまり、\(U_{p_1} \cap S_1 = \emptyset\)、があることになる。したがって、\(U \cap U_{p_1} \subseteq S_2 \cup S_3 \cup . . . \cup S_n\)。
\(U \cap U_{p_1}\)は、\(S_2 \cup S_3 \cup . . . \cup S_n\)に対して、\(U\)が\(S_1 \cup S_2 \cup . . . \cup S_n\)に対して果たすのと同じ役割を果たすことになるので、以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(U \cap U_{p_1} \cap U_{p_2} \subseteq T\)、つまり、\(U \cap U_{p_1} \cap U_{p_2} \subseteq S_3 \cup S_4 \cup . . . \cup S_n\)、があることになる、等々と続く。結局、\(U \cap U_{p_1} \cap U_{p_2} \cap . . . \cap U_{p_{n - 1}} \subseteq S_n\)、\(S_n\)がノーホエアデンス（どこでも密でない）であることに反する矛盾。
3: 注
証明内に示されたとおり、\(S_n\)は実際にはノーホエアデンス（どこでも密でない）である必要はない: 空インテリア（内部）も持っていれば充分である、それは、ノーホエアデンス（どこでも密でない）であることよりも弱い条件である。
あるインフィニット（無限）ユニオン（和集合）に対しては、当該ユニオン（和集合）は空でないインテリア（内部）を持つかもしれない、しかし、もしも、\(T\)がコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）またはローカルにコンパクトなハウスドルフスペース（空間）であれば、任意のカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つ、ベールカテゴリー定理によって。
