361: トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つ

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トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのファイナイト（有限）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）のノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のファイナイト（有限）数ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のファイナイト（有限）数ノーホエアデンス（どこでも密でない）サブセット（部分集合）たち$\{S_i|i\in I\}$、ここで、$I$は任意のファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）、ユニオン（和集合）$S={\cup }_{i\in I}{S}_i$に対して、当該ユニオン（和集合）のインテリア（内部）$intS$は空である、つまり、$intS=\mathrm{\varnothing }$。

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2: 証明

$intS\ne \mathrm{\varnothing }$であると仮定しよう。あるオープンセット（開集合）$U\subseteq S$があることになる。$\mathrm{\neg }U\subseteq \overline{S_1}$、なぜなら、$S_1$はノーホエアデンス（どこでも密でない）である。以下を満たす あるポイント$p_1\in U$ 、つまり、$p_1\notin \overline{S_1}$、があることになる。$p_1\notin S_1$は$S_1$のアキューミュレーションポイント（集積点）ではないことになるので、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）$U_{p_1}\subseteq T$、つまり、$U_{p_1}\cap S_1=\mathrm{\varnothing }$、があることになる。したがって、$U\cap U_{p_1}\subseteq S_2\cup S_3\cup ...\cup S_n$。

$U\cap U_{p_1}$は、$S_2\cup S_3\cup ...\cup S_n$に対して、$U$が$S_1\cup S_2\cup ...\cup S_n$に対して果たすのと同じ役割を果たすことになるので、以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U\cap U_{p_1}\cap U_{p_2}\subseteq T$、つまり、$U\cap U_{p_1}\cap U_{p_2}\subseteq S_3\cup S_4\cup ...\cup S_n$、があることになる、等々と続く。結局、$U\cap U_{p_1}\cap U_{p_2}\cap ...\cap U_{p_{n-1}}\subseteq S_n$、$S_n$がノーホエアデンス（どこでも密でない）であることに反する矛盾。

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3: 注

証明内に示されたとおり、$S_n$は実際にはノーホエアデンス（どこでも密でない）である必要はない: 空インテリア（内部）も持っていれば充分である、それは、ノーホエアデンス（どこでも密でない）であることよりも弱い条件である。

あるインフィニット（無限）ユニオン（和集合）に対しては、当該ユニオン（和集合）は空でないインテリア（内部）を持つかもしれない、しかし、もしも、$T$がコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）またはローカルにコンパクトなハウスドルフスペース（空間）であれば、任意のカウンタブル（可算）ユニオン（和集合）は空のインテリア（内部）を持つ、ベールカテゴリー定理によって。

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参考資料

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