2つのデデキントカットたちの間にラショナル（有理）およびイラショナル（無理）デデキントカットたちがあることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ラショナル（有理）デデキントカットの定義を知っている。
- 読者は、イラショナル（無理）デデキントカットの定義を知っている。
- 読者は、任意の非ネガティブ（負）リアルナンバー（実数）のスクウェアルート（平方根）がリアルナンバー（実数）として存在するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つのデデキントカットたちに対して、それらの間にあるラショナル（有理）デデキントカットおよびあるイラショナル（無理）デデキントカットたちがあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
以下を満たす任意のデデキントカットたち\(\tilde{r_1}, \tilde{r_4}\)、つまり、\(\tilde{r_1} \subset \tilde{r_4}\)、に対して、以下を満たすあるラショナル（有理）デデキントカット\(\tilde{r_2}\)、つまり、\(\tilde{r_1} \subset \tilde{r_2} \subset \tilde{r_4}\)および以下を満たすあるイラショナル（無理）デデキントカット\(\tilde{r_3}\)、つまり、\(\tilde{r_1} \subset \tilde{r_3} \subset \tilde{r_4}\)、がある。
2: 証明
注意として、任意のラショナルナンバー（有理数）に対して、\(r\)は当該ラショナルナンバー（有理数）をラショナルナンバー（有理数）とみなしたものを表わす; \(\tilde{r}\)は\(r\)のデデキントカットをリアルナンバー（実数）とみなしたものを表わす; 任意のイラショナルナンバー（無理数）は常に\(\tilde{r}\)と表わされる、なぜなら、それは、常にデデキントカットとしてのものである。
以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）\(q_2\)、つまり、\(q_2 \notin \tilde{r_1}\)かつ\(q_2 \in \tilde{r_4}\)、がある。以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）\(q'_2\)、つまり、\(q_2 \lt q'_2 \in \tilde{r_4}\)、がある、なぜなら、\(\tilde{r_4}\)は最大エレメント（要素）を持たない、デデキントカットの定義によって。\(\tilde{q'_2} = \{q \in \mathbb{Q}\vert q \lt q'_2\}\)。\(\tilde{q'_2} \subset \tilde{r_4}\)、なぜなら、\(\tilde{r_4}\)は\(q'_2\)より小さい全てのラショナルナンバー（有理数）たちを包含しているが、\(q'_2\)は\(\tilde{r_4}\)だけに包含されている。\(\tilde{r_1} \subset \tilde{q'_2}\)、なぜなら、\(\tilde{q'_2}\)は\(\tilde{r_1}\)より小さい全てのラショナルナンバー（有理数）たちを包含しているが、\(q_2\)は\(\tilde{q'_2}\)だけに包含されている。\(\tilde{r_2}\)は\(\tilde{q'_2}\)と取れる。
これ以降に繰り返し使われる事実として、以下を満たす任意のリアルナンバー（実数）たち\(\tilde{r}, \tilde{r'}\)、つまり、\(0 \leq \tilde{r} \lt \tilde{r'}\)、に対して、以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）\(q\)、つまり、\(\tilde{r} \lt \tilde{q}^2 \lt \tilde{r'}\)、がある、なぜなら、\(\sqrt{\tilde{r}} \lt \sqrt{\tilde{r'}}\)（スクウェアルート（平方根）たちの存在は事前想定されている）、そして、以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）\(q\)、つまり、\(\sqrt{\tilde{r}} \subset \tilde{q} \subset \sqrt{\tilde{r'}}\)、がある、前パラグラフによって、そして、\(\sqrt{\tilde{r}} \sqrt{\tilde{r}} \subset \tilde{q} \tilde{q} \subset \sqrt{\tilde{r'}} \sqrt{\tilde{r'}}\)、したがって、\(\tilde{r} \lt \tilde{q}^2 \lt \tilde{r'}\)。
以下を満たすあるデデキントカット\(\tilde{r_3}\)、つまり、\(\tilde{r_1} \subset \tilde{r_3} \subset \tilde{r_2}\)、を見つけよう。
\(0 \lt \tilde{r_2}\)であると仮定しよう。もしも、\(\tilde{r_1} \lt 0\)であれば、\(\tilde{r'_1} = 0\)を取る、そうでなければ、\(\tilde{r'_1} = \tilde{r_1}\)、したがって、\(0 \leq \tilde{r'_1} \lt \tilde{r_2}\)。 以下を満たすあるポジティブ（正）ラショナルナンバー（有理数）\(q_3\)、つまり、\({\tilde{r'_1}}^2 \lt 2 {\tilde{q_3}}^2 \lt {\tilde{r_2}}^2\)、がある、なぜなら、それは、\(\frac{{\tilde{r'_1}}^2}{2} \lt {\tilde{q_3}}^2 \lt \frac{{\tilde{r_2}}^2}{2}\)と等価である。そこで、\(\tilde{r_3} := \{q \in \mathbb{Q}\vert (q \lt 0) \lor (0 \leq q \land q^2 \lt 2 {q_3}^2)\}\)を定義する。
\(\tilde{r_3}\)はデデキントカットである、なぜなら、\(\tilde{r_3} \neq \emptyset\)かつ\(\tilde{r_3} \neq \mathbb{Q}\)、そして、もしも、\(q' \in \tilde{r_3}\)であれば、任意の\(q'' \lt q'\)に対して、\(q'' \in \tilde{r_3}\)、そして、\(\tilde{r_3}\)は最大エレメント（要素）を包含しない（以下を満たす任意の\(q'\)、つまり、\(q'^2 \lt 2 {q_3}^2\)、に対して、以下を満たすある\(q''\)、つまり、\(q'^2 \lt q''^2 \lt 2 {q_3}^2\)、がある）。\(\tilde{r_3}\)のコンプリメント（補集合）は\(\{q \in \mathbb{Q}\vert 0 \leq q \land 2 {q_3}^2 \leq q^2\}\)、それは、最小エレメント（要素）を持たない、\(2 {q_3}^2 = q^2\)を満たす\(q\)はないから（ 以下を満たす任意の\(q'\)、つまり、\(2 {q_3}^2 \lt q'^2\)、に対して、以下を満たすある\(q''\)、つまり、\(2 {q_3}^2 \lt q''^2 \lt q'^2\)、がある）、それが意味するのは、\(\tilde{r_3}\)はイラショナルナンバー（無理数）であるということ。
\(\tilde{r'_1} \subset \tilde{r_3} \subset \tilde{r_2}\)、なぜなら、\(\tilde{r'_1} \subseteq \tilde{r_3} \subseteq \tilde{r_2}\)は明らかである一方、以下を満たす\(q', q''\)、つまり、\(\tilde{r'_1}^2 \lt \tilde{q'}^2 \lt \tilde{r_3}^2 \lt \tilde{q''}^2 \lt \tilde{r_2}^2\)、があり、\(q' \notin \tilde{r'_1}\)、\(q' \in \tilde{r_3}\)、\(q'' \notin \tilde{r_3}\)、\(q'' \in \tilde{r_2}\)。
\(\tilde{r_2} \leq 0\)であると仮定しよう。すると、\(\tilde{r_1} \lt \tilde{r_2} \leq 0\)。以下を満たすあるネガティブ（負）ラショナルナンバー（有理数）\(q_3\)、つまり、\({\tilde{r_2}}^2 \lt 2 {\tilde{q_3}}^2 \lt {\tilde{r_1}}^2\)、がある。そこで、\(\tilde{r_3} := \{q \in \mathbb{Q}\vert q \leq 0 \land 2 {q_3}^2 \lt q^2\}\)と定義する。
\(\tilde{r_3}\)はデデキントカットである、なぜなら、\(\tilde{r_3} \neq \emptyset\)かつ\(\tilde{r_3} \neq \mathbb{Q}\)、そして、もしも、\(q' \in \tilde{r_3}\)であれば、任意の\(q'' \lt q'\)に対して、\(q'' \in \tilde{r_3}\)、そして、\(\tilde{r_3}\)は最大エレメント（要素）を包含しない（以下を満たす任意の\(q'\)、つまり、\(2 {q_3}^2 \lt q'^2\)、に対して、以下を満たすある\(q''\)、つまり、\(2 {q_3}^2 \lt q''^2 \lt q'^2\)、がある）。\(\tilde{r_3}\)のコンプリメント（補集合）は\(\{q \in \mathbb{Q}\vert (0 \lt q) \lor (q \leq 0 \land q^2 \leq 2 {q_3}^2)\}\)、それは、最小エレメント（要素）を持たない、\(q^2 = 2 {q_3}^2\)を満たす\(q\)はないから（ 以下を満たす任意の\(q'\)、つまり、\(q'^2 \lt 2 {q_3}^2\)、に対して、以下を満たすある\(q''\)、つまり、\(q'^2 \lt q''^2 \lt 2 {q_3}^2\)、がある）、それが意味するのは、\(\tilde{r_3}\)はイラショナルナンバー（無理数）であるということ。
\(\tilde{r_1} \subset \tilde{r_3} \subset \tilde{r_2}\)、なぜなら、\(\tilde{r_1} \subseteq \tilde{r_3} \subseteq \tilde{r_2}\)は明らかである一方、以下を満たすあるネガティブ（負）\(q', q''\)、つまり、\(\tilde{r_2}^2 \lt \tilde{q'}^2 \lt \tilde{r_3}^2 \lt \tilde{q''}^2 \lt \tilde{r_1}^2\)、があり、\(q'' \notin \tilde{r_1}\)、\(q'' \in \tilde{r_3}\)、\(q' \notin \tilde{r_3}\)、\(q' \in \tilde{r_2}\)。
