362: 2つのデデキントカットたちの間にラショナル（有理）およびイラショナル（無理）デデキントカットたちがある

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2つのデデキントカットたちの間にラショナル（有理）およびイラショナル（無理）デデキントカットたちがあることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ラショナル（有理）デデキントカットの定義を知っている。
• 読者は、イラショナル（無理）デデキントカットの定義を知っている。
• 読者は、任意の非ネガティブ（負）リアルナンバー（実数）のスクウェアルート（平方根）がリアルナンバー（実数）として存在するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つのデデキントカットたちに対して、それらの間にあるラショナル（有理）デデキントカットおよびあるイラショナル（無理）デデキントカットたちがあるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

以下を満たす任意のデデキントカットたち$\widetilde{r_1},\widetilde{r_4}$、つまり、$\widetilde{r_1}\subset \widetilde{r_4}$、に対して、以下を満たすあるラショナル（有理）デデキントカット$\widetilde{r_2}$、つまり、$\widetilde{r_1}\subset \widetilde{r_2}\subset \widetilde{r_4}$および以下を満たすあるイラショナル（無理）デデキントカット$\widetilde{r_3}$、つまり、$\widetilde{r_1}\subset \widetilde{r_3}\subset \widetilde{r_4}$、がある。

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2: 証明

注意として、任意のラショナルナンバー（有理数）に対して、$r$は当該ラショナルナンバー（有理数）をラショナルナンバー（有理数）とみなしたものを表わす; $\tilde{r}$は$r$のデデキントカットをリアルナンバー（実数）とみなしたものを表わす; 任意のイラショナルナンバー（無理数）は常に$\tilde{r}$と表わされる、なぜなら、それは、常にデデキントカットとしてのものである。

以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）$q_2$、つまり、$q_2\notin \widetilde{r_1}$かつ$q_2\in \widetilde{r_4}$、がある。以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）$q_2^{\prime }$、つまり、$q_2<q_2^{\prime }\in \widetilde{r_4}$、がある、なぜなら、$\widetilde{r_4}$は最大エレメント（要素）を持たない、デデキントカットの定義によって。$\widetilde{q_2^{\prime }}=\{q\in \mathbb{Q}|q<q_2^{\prime }\}$。$\widetilde{q_2^{\prime }}\subset \widetilde{r_4}$、なぜなら、$\widetilde{r_4}$は$q_2^{\prime }$より小さい全てのラショナルナンバー（有理数）たちを包含しているが、$q_2^{\prime }$は$\widetilde{r_4}$だけに包含されている。$\widetilde{r_1}\subset \widetilde{q_2^{\prime }}$、なぜなら、$\widetilde{q_2^{\prime }}$は$\widetilde{r_1}$より小さい全てのラショナルナンバー（有理数）たちを包含しているが、$q_2$は$\widetilde{q_2^{\prime }}$だけに包含されている。$\widetilde{r_2}$は$\widetilde{q_2^{\prime }}$と取れる。

これ以降に繰り返し使われる事実として、以下を満たす任意のリアルナンバー（実数）たち$\tilde{r},\widetilde{r^{\prime }}$、つまり、$0\le \tilde{r}<\widetilde{r^{\prime }}$、に対して、以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）$q$、つまり、$\tilde{r}<{\tilde{q}}^2<\widetilde{r^{\prime }}$、がある、なぜなら、$\sqrt{\tilde{r}}<\sqrt{\widetilde{r^{\prime }}}$（スクウェアルート（平方根）たちの存在は事前想定されている）、そして、以下を満たすあるラショナルナンバー（有理数）$q$、つまり、$\sqrt{\tilde{r}}\subset \tilde{q}\subset \sqrt{\widetilde{r^{\prime }}}$、がある、前パラグラフによって、そして、$\sqrt{\tilde{r}}\sqrt{\tilde{r}}\subset \tilde{q}\tilde{q}\subset \sqrt{\widetilde{r^{\prime }}}\sqrt{\widetilde{r^{\prime }}}$、したがって、$\tilde{r}<{\tilde{q}}^2<\widetilde{r^{\prime }}$。

以下を満たすあるデデキントカット$\widetilde{r_3}$、つまり、$\widetilde{r_1}\subset \widetilde{r_3}\subset \widetilde{r_2}$、を見つけよう。

$0<\widetilde{r_2}$であると仮定しよう。もしも、$\widetilde{r_1}<0$であれば、$\widetilde{r_1^{\prime }}=0$を取る、そうでなければ、$\widetilde{r_1^{\prime }}=\widetilde{r_1}$、したがって、$0\le \widetilde{r_1^{\prime }}<\widetilde{r_2}$。 以下を満たすあるポジティブ（正）ラショナルナンバー（有理数）$q_3$、つまり、${\widetilde{r_1^{\prime }}}^2<2{\widetilde{q_3}}^2<{\widetilde{r_2}}^2$、がある、なぜなら、それは、$\frac{{\widetilde{r_1^{\prime }}}^2}{2}<{\widetilde{q_3}}^2<\frac{{\widetilde{r_2}}^2}{2}$と等価である。そこで、$\widetilde{r_3}:=\{q\in \mathbb{Q}|(q<0)\vee (0\le q\wedge q^2<2{q_3}^2)\}$を定義する。

$\widetilde{r_3}$はデデキントカットである、なぜなら、$\widetilde{r_3}\ne \mathrm{\varnothing }$かつ$\widetilde{r_3}\ne \mathbb{Q}$、そして、もしも、$q^{\prime }\in \widetilde{r_3}$であれば、任意の$q^{″}<q^{\prime }$に対して、$q^{″}\in \widetilde{r_3}$、そして、$\widetilde{r_3}$は最大エレメント（要素）を包含しない（以下を満たす任意の$q^{\prime }$、つまり、$q^{\prime 2}<2{q_3}^2$、に対して、以下を満たすある$q^{″}$、つまり、$q^{\prime 2}<q^{″2}<2{q_3}^2$、がある）。$\widetilde{r_3}$のコンプリメント（補集合）は$\{q\in \mathbb{Q}|0\le q\wedge 2{q_3}^2\le q^2\}$、それは、最小エレメント（要素）を持たない、$2{q_3}^2=q^2$を満たす$q$はないから（ 以下を満たす任意の$q^{\prime }$、つまり、$2{q_3}^2<q^{\prime 2}$、に対して、以下を満たすある$q^{″}$、つまり、$2{q_3}^2<q^{″2}<q^{\prime 2}$、がある）、それが意味するのは、$\widetilde{r_3}$はイラショナルナンバー（無理数）であるということ。

$\widetilde{r_1^{\prime }}\subset \widetilde{r_3}\subset \widetilde{r_2}$、なぜなら、$\widetilde{r_1^{\prime }}\subseteq \widetilde{r_3}\subseteq \widetilde{r_2}$は明らかである一方、以下を満たす$q^{\prime },q^{″}$、つまり、${\widetilde{r_1^{\prime }}}^2<{\widetilde{q^{\prime }}}^2<{\widetilde{r_3}}^2<{\widetilde{q^{″}}}^2<{\widetilde{r_2}}^2$、があり、$q^{\prime }\notin \widetilde{r_1^{\prime }}$、$q^{\prime }\in \widetilde{r_3}$、$q^{″}\notin \widetilde{r_3}$、$q^{″}\in \widetilde{r_2}$。

$\widetilde{r_2}\le 0$であると仮定しよう。すると、$\widetilde{r_1}<\widetilde{r_2}\le 0$。以下を満たすあるネガティブ（負）ラショナルナンバー（有理数）$q_3$、つまり、${\widetilde{r_2}}^2<2{\widetilde{q_3}}^2<{\widetilde{r_1}}^2$、がある。そこで、$\widetilde{r_3}:=\{q\in \mathbb{Q}|q\le 0\wedge 2{q_3}^2<q^2\}$と定義する。

$\widetilde{r_3}$はデデキントカットである、なぜなら、$\widetilde{r_3}\ne \mathrm{\varnothing }$かつ$\widetilde{r_3}\ne \mathbb{Q}$、そして、もしも、$q^{\prime }\in \widetilde{r_3}$であれば、任意の$q^{″}<q^{\prime }$に対して、$q^{″}\in \widetilde{r_3}$、そして、$\widetilde{r_3}$は最大エレメント（要素）を包含しない（以下を満たす任意の$q^{\prime }$、つまり、$2{q_3}^2<q^{\prime 2}$、に対して、以下を満たすある$q^{″}$、つまり、$2{q_3}^2<q^{″2}<q^{\prime 2}$、がある）。$\widetilde{r_3}$のコンプリメント（補集合）は$\{q\in \mathbb{Q}|(0<q)\vee (q\le 0\wedge q^2\le 2{q_3}^2)\}$、それは、最小エレメント（要素）を持たない、$q^2=2{q_3}^2$を満たす$q$はないから（ 以下を満たす任意の$q^{\prime }$、つまり、$q^{\prime 2}<2{q_3}^2$、に対して、以下を満たすある$q^{″}$、つまり、$q^{\prime 2}<q^{″2}<2{q_3}^2$、がある）、それが意味するのは、$\widetilde{r_3}$はイラショナルナンバー（無理数）であるということ。

$\widetilde{r_1}\subset \widetilde{r_3}\subset \widetilde{r_2}$、なぜなら、$\widetilde{r_1}\subseteq \widetilde{r_3}\subseteq \widetilde{r_2}$は明らかである一方、以下を満たすあるネガティブ（負）$q^{\prime },q^{″}$、つまり、${\widetilde{r_2}}^2<{\widetilde{q^{\prime }}}^2<{\widetilde{r_3}}^2<{\widetilde{q^{″}}}^2<{\widetilde{r_1}}^2$、があり、$q^{″}\notin \widetilde{r_1}$、$q^{″}\in \widetilde{r_3}$、$q^{\prime }\notin \widetilde{r_3}$、$q^{\prime }\in \widetilde{r_2}$。

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参考資料

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