\(C^\infty\)マップ（写像）のオープン（開）ドメイン（定義域）およびオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）間の任意の\(C^\infty\)マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の任意のオープン（開）ドメイン（定義域）および任意の妥当なオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意の\(C^\infty\)マップ（写像）\(f: M_1 \rightarrow M_2\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq M_1\)、以下を満たす任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U_2 \subseteq M_2\)、つまり、\(f (U_1) \subseteq U_2\)に対して、\(f\vert_{U_1}: U_1 \rightarrow U_2\)は\(C^\infty\)である。
2: 証明
任意のポイント\(p \in U_1\)に対して、チャートたち\((U_p \subseteq M_1, \phi_p)\)および\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)があり、\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi_p}^{-1}\)は\(\phi_p (p)\)において\(C^\infty\)である。\((U_p \cap U_1 \subseteq U_1, \phi_p\vert_{U_p \cap U_1})\)および\((U_{f (p)} \cap U_2 \subseteq U_2, \phi_{f (p)}\vert_{U_{f (p)} \cap U_2})\)は\(U_1\)および\(U_2\)上でチャートたちであり、\(\phi_{f (p)}\vert_{U_{f (p)} \cap U_2} \circ f\vert_{U_1} \circ {\phi_p\vert_{U_p \cap U_1}}^{-1}\)は\(\phi_p\vert_{U_p \cap U_1} (p)\)において\(C^\infty\)である、なぜなら、それは\(C^\infty\) \(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi_p}^{-1}\)の、オープン（開）ドメイン（定義域）\(\phi_p (U_p \cap U_1)\)についてのリストリクション（制限）である。
