371: C^\inftyマップ（写像）のオープン（開）ドメイン（定義域）およびオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はC^\inftyである|T.B.P.日本語版

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C^{\infty}

マップ（写像）のオープン（開）ドメイン（定義域）およびオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は

C^{\infty}

であることの記述/証明

話題

About: $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）

この記事の目次

開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
オリエンテーション
本体
1: 記述
2: 証明

開始コンテキスト

読者は、 $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）上の $C^{\infty}$ ファンクション（関数）の定義を知っている。

ターゲットコンテキスト

読者は、任意の $C^{\infty}$ マニフォールド（多様体）間の任意の $C^{\infty}$ マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の任意のオープン（開）ドメイン（定義域）および任意の妥当なオープン（開）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は $C^{\infty}$ であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述

任意の

C^{\infty}

マニフォールド（多様体）たち

M_{1}, M_{2}

、任意の

C^{\infty}

マップ（写像）

f : M_{1} \to M_{2}

、任意のオープンサブセット（開部分集合）

U_{1} \subseteq M_{1}

、以下を満たす任意のオープンサブセット（開部分集合）

U_{2} \subseteq M_{2}

、つまり、

f (U_{1}) \subseteq U_{2}

に対して、

f |_{U_{1}} : U_{1} \to U_{2}

は

C^{\infty}

である。

2: 証明

任意のポイント

p \in U_{1}

に対して、チャートたち

(U_{p} \subseteq M_{1}, ϕ_{p})

および

(U_{f (p)} \subseteq M_{2}, ϕ_{f (p)})

があり、

ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}}^{- 1}

は

ϕ_{p} (p)

において

C^{\infty}

である。

(U_{p} \cap U_{1} \subseteq U_{1}, ϕ_{p} |_{U_{p} \cap U_{1}})

および

(U_{f (p)} \cap U_{2} \subseteq U_{2}, ϕ_{f (p)} |_{U_{f (p)} \cap U_{2}})

は

U_{1}

および

U_{2}

上でチャートたちであり、

ϕ_{f (p)} |_{U_{f (p)} \cap U_{2}} \circ f |_{U_{1}} \circ {ϕ_{p} |_{U_{p} \cap U_{1}}}^{- 1}

は

ϕ_{p} |_{U_{p} \cap U_{1}} (p)

において

C^{\infty}

である、なぜなら、それは

C^{\infty}

ϕ_{f (p)} \circ f \circ {ϕ_{p}}^{- 1}

の、オープン（開）ドメイン（定義域）

ϕ_{p} (U_{p} \cap U_{1})

についてのリストリクション（制限）である。

参考資料