357: トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナスサブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持っている

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナスサブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持っていることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

---

開始コンテキスト

• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、その任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナス当該サブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持つという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$\bar{S}\setminus S$のインテリア（内部）は空である、つまり、$int(\bar{S}\setminus S)=\mathrm{\varnothing }$。

---

2: 証明

任意のポイント$p\in \bar{S}\setminus S$に対して、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$N_p\subseteq T$は$S$と交わる、それが意味するのは、$N_p$は$\bar{S}\setminus S$の中に包含されていないということ。したがって、$\bar{S}\setminus S$の中に包含されているオープンセット（開集合）はない。

---

3: 注

$S$が$T$上でオープン（開）である時、$\bar{S}\setminus S$は$T$上でクローズド（閉）である、任意のクローズドセット（閉集合）マイナス任意のオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、$\overline{\stackrel{―}{S}\setminus S}=\bar{S}\setminus S$、したがって、$int(\overline{\stackrel{―}{S}\setminus S})=\mathrm{\varnothing }$、それが意味するのは、$\bar{S}\setminus S$はノーホエアデンス（どこでも密でない）であるということ。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>