トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナスサブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持っていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、その任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）マイナス当該サブセット（部分集合）は空のインテリア（内部）を持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(\overline{S} \setminus S\)のインテリア（内部）は空である、つまり、\(int (\overline{S} \setminus S) = \emptyset\)。
2: 証明
任意のポイント\(p \in \overline{S} \setminus S\)に対して、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である、したがって、\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T\)は\(S\)と交わる、それが意味するのは、\(N_p\)は\(\overline{S} \setminus S\)の中に包含されていないということ。したがって、\(\overline{S} \setminus S\)の中に包含されているオープンセット（開集合）はない。
3: 注
\(S\)が\(T\)上でオープン（開）である時、\(\overline{S} \setminus S\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のクローズドセット（閉集合）マイナス任意のオープンセット（開集合）はクローズド（閉）であるという命題によって、したがって、\(\overline{\overline{S} \setminus S} = \overline{S} \setminus S\)、したがって、\(int (\overline{\overline{S} \setminus S}) = \emptyset\)、それが意味するのは、\(\overline{S} \setminus S\)はノーホエアデンス（どこでも密でない）であるということ。
