2つの\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つがレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトはレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つの\(C^\infty\) マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つが任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトは元のプロダクトのレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(T'_1, T'_2\)、プロダクト\(T'_1 \times T'_2\)に対して、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(T_1 \subseteq T'_1\)に対して、\(T_1 \times T'_2\)は\(T'_1 \times T'_2\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である; 任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）\(T_2 \subseteq T'_2\)に対して、\(T'_1 \times T_2\)は\(T'_1 \times T'_2\)のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である。
2: 証明
任意のポイント\(p = (p_{T_1}, p_{T'_2}) \in T_1 \times T'_2\)に対して、あるアダプテッドチャート\((U'_{p_{T_1}} \subseteq T'_1, \phi'_{p_{T_1}})\)およびあるチャート\((U'_{p_{T'_2}} \subseteq T'_2, \phi'_{p_{T'_2}})\)がある。あるチャート\((U'_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}} \subseteq T'_1 \times T'_2, \phi'_{p_{T_1}} \times \phi'_{p_{T'_2}})\)を取ろう。\((U'_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}}) \cap (T_1 \times T'_2) = (U'_{p_{T_1}} \cap T_1) \times (U'_{p_{T'_2}} \cap T'_2) = (U'_{p_{T_1}} \cap T_1) \times U'_{p_{T'_2}} = U_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}}\)、ここで、\((U_{p_{T_1}} \subseteq T_1, \phi_{p_{T_1}})\)は\(U'_{p_{T_1}}\)に対応するアダプティングチャート、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって。\(U_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}} = \{p' \in U'_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}}\vert \phi'_{p_{T_1}} \times \phi'_{p_{T'_2}} (p') = (x^1, x^2, . . ., x^{d_1}, 0, 0, . . ., 0, y^1, y^2, . . ., y^{d'_2})\}\)、ここで、\(x^i\)および\(y^i\)は\(\phi'_{p_{T_1}}\)および\(\phi'_{p_{T'_2}}\)のコーディネート（座標）たちであり、\(d_1\)および\(d'_2\)は\(T_1\)および\(T'_2\)のディメンジョン（次元）たち。したがって、\((U'_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}} \subseteq T'_1 \times T'_2, \phi'_{p_{T_1}} \times \phi'_{p_{T'_2}})\)はアダプテッドチャートであり、\((U_{p_{T_1}} \times U'_{p_{T'_2}} \subseteq T_1 \times T'_2, \phi_{p_{T_1}} \times \phi'_{p_{T'_2}})\)は対応するアダプティングチャートである。
\(T'_1 \times T_2\)に対しても同様である。
