363: 2つのC^\inftyマニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つがレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトはレギュラーサブマニフォールド（多様体）である

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2つの$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つがレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトはレギュラーサブマニフォールド（多様体）であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、プロダクト$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、レギュラーサブマニフォールド（多様体）の定義を知っている。
• 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の2つの$C^{\mathrm{\infty }}$ マニフォールド（多様体）たちのプロダクトに対して、構成員たちの内の1つが任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）で置き換えられたプロダクトは元のプロダクトのレギュラーサブマニフォールド（多様体）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$T_1^{\prime },T_2^{\prime }$、プロダクト$T_1^{\prime }\times T_2^{\prime }$に対して、任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）$T_1\subseteq T_1^{\prime }$に対して、$T_1\times T_2^{\prime }$は$T_1^{\prime }\times T_2^{\prime }$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である; 任意のレギュラーサブマニフォールド（多様体）$T_2\subseteq T_2^{\prime }$に対して、$T_1^{\prime }\times T_2$は$T_1^{\prime }\times T_2^{\prime }$のレギュラーサブマニフォールド（多様体）である。

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2: 証明

任意のポイント$p=(p_{T_1},p_{T_2^{\prime }})\in T_1\times T_2^{\prime }$に対して、あるアダプテッドチャート$(U_{p_{T_1}}^{\prime }\subseteq T_1^{\prime },{\varphi }_{p_{T_1}}^{\prime })$およびあるチャート$(U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }\subseteq T_2^{\prime },{\varphi }_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime })$がある。あるチャート$(U_{p_{T_1}}^{\prime }\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }\subseteq T_1^{\prime }\times T_2^{\prime },{\varphi }_{p_{T_1}}^{\prime }\times {\varphi }_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime })$を取ろう。$(U_{p_{T_1}}^{\prime }\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime })\cap (T_1\times T_2^{\prime })=(U_{p_{T_1}}^{\prime }\cap T_1)\times (U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }\cap T_2^{\prime })=(U_{p_{T_1}}^{\prime }\cap T_1)\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }=U_{p_{T_1}}\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }$、ここで、$(U_{p_{T_1}}\subseteq T_1,{\varphi }_{p_{T_1}})$は$U_{p_{T_1}}^{\prime }$に対応するアダプティングチャート、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題によって。$U_{p_{T_1}}\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }=\{p^{\prime }\in U_{p_{T_1}}^{\prime }\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }|{\varphi }_{p_{T_1}}^{\prime }\times {\varphi }_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }(p^{\prime })=(x^1,x^2,...,x^{d_1},0,0,...,0,y^1,y^2,...,y^{d_2^{\prime }})\}$、ここで、$x^i$および$y^i$は${\varphi }_{p_{T_1}}^{\prime }$および${\varphi }_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }$のコーディネート（座標）たちであり、$d_1$および$d_2^{\prime }$は$T_1$および$T_2^{\prime }$のディメンジョン（次元）たち。したがって、$(U_{p_{T_1}}^{\prime }\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }\subseteq T_1^{\prime }\times T_2^{\prime },{\varphi }_{p_{T_1}}^{\prime }\times {\varphi }_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime })$はアダプテッドチャートであり、$(U_{p_{T_1}}\times U_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime }\subseteq T_1\times T_2^{\prime },{\varphi }_{p_{T_1}}\times {\varphi }_{p_{T_2^{\prime }}}^{\prime })$は対応するアダプティングチャートである。

$T_1^{\prime }\times T_2$に対しても同様である。

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参考資料

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