セット（集合）たちのプロダクトたちのインターセクション（共通集合）はセット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インフィニット（無限）数のセット（集合）たちのプロダクトの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のセット（集合）たちのインデックスたちセット（集合）たちが同じであるプロダクトたちのインターセクション（共通集合）は当該セット（集合）たちのインターセクション（共通集合）たちのプロダクトであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
アンカウンタブル（不可算）かもしれない任意のインデックスたちセット（集合）たち\(A, B\)、任意のセット（集合）たち\(S_{\alpha \in A, \beta \in B}\)に対して、\(\cap_{\alpha \in A} \times_{\beta \in B} S_{\alpha, \beta} = \times_{\beta \in B} \cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, \beta}\)。
2: 証明
任意の\(p \in \cap_{\alpha \in A} \times_{\beta \in B} S_{\alpha, \beta}\)に対して、各\(\alpha\)に対して\(p \in \times_{\beta \in B} S_{\alpha, \beta}\)。各\(\alpha, \beta\)に対して、\(p (\beta) \in S_{\alpha, \beta}\)。\(p (\beta) \in \cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, \beta}\)、\(p \in \times_{\beta \in B} \cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, \beta}\)。任意の\(p \in \times_{\beta \in B} \cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, \beta}\)に対して、各\(\beta\)に対して\(p (\beta) \in \cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, \beta}\)。各\(\beta, \alpha\)に対して\(p (\beta) \in S_{\alpha, \beta}\)。各\(\alpha\)に対して\(p \in \times_{\beta} S_{\alpha, \beta}\)。\(p \in \cap_{\alpha \in A} \times_{\beta \in B} S_{\alpha, \beta}\)。
3: 注
\(B\)がファイナイト（有限）インデックスたちセット（集合）である時は、当命題は以下を述べる、つまり、\(\cap_{\alpha \in A} (S_{\alpha, 1} \times S_{\alpha, 2} \times . . . \times S_{\alpha, n}) = (\cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, 1}) \times (\cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, 2}) \times . . . \times (\cap_{\alpha \in A} S_{\alpha, n})\)。
