372: ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちである

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ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリー$C$に対するモーフィズム（射）たちの定義は妥当である。以下が定義である: 任意のファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たち$(T_1,F_{T_1})$および$(T_2,F_{T_2})$に対して、モーフィズム（射）たち$C((T_1,F_{T_1}),(T_2,F_{T_2}))$は以下を満たすコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち$\{\varphi :T_1\to T_2\}$、つまり、任意の$f\in F_{T_2}(U_2)$に対して、$f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U_2)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U_2))$; モーフィズム（射）たちのコンポジション（合成）は当該コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）である; 任意のモーフィズム（射）はアイデンティマップ（恒等写像）である。

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2: 証明

モーフィズム（射）たちのトランジティビティ（推移性）をチェックしよう。任意のモーフィズム（射）たち${\varphi }_{1,2}:(T_1,F_{T_1})\to (T_2,F_{T_2})$および${\varphi }_{2,3}:(T_2,F_{T_2})\to (T_3,F_{T_3})$に対して、${\varphi }_{2,3}\circ {\varphi }_{1,2}$はモーフィズム（射）$(T_1,F_{T_1})\to (T_3,F_{T_3})$であるか？任意の$f\in F_{T_3}(U_3)$に対して、$f\circ {\varphi }_{2,3}\circ {\varphi }_{1,2}{|}_{({\varphi }_{2,3}\circ {\varphi }_{1,2}{)}^{-1}(U_3)}\in F_{T_1}(({\varphi }_{2,3}\circ {\varphi }_{1,2}{)}^{-1}(U_3))$？$f\circ {\varphi }_{2,3}{|}_{{{\varphi }_{2,3}}^{-1}(U_3)}\in F_{T_2}({{\varphi }_{2,3}}^{-1}(U_3))$。$f\circ {\varphi }_{2,3}\circ {\varphi }_{1,2}{|}_{{{\varphi }_{1,2}}^{-1}({{\varphi }_{2,3}}^{-1}(U_3))}=(f\circ {\varphi }_{2,3})\circ {\varphi }_{1,2}{|}_{{{\varphi }_{1,2}}^{-1}({{\varphi }_{2,3}}^{-1}(U_3))}\in F_{T_1}({{\varphi }_{1,2}}^{-1}({{\varphi }_{2,3}}^{-1}(U_3)))=F_{T_1}(({\varphi }_{2,3}\circ {\varphi }_{1,2}{)}^{-1}(U_3))$。

アイデンティマップ（恒等写像）がモーフィズム（射）であることをチェックしよう。任意のオブジェクト$(T_1,F_{T_1})$、アイデンティマップ（恒等写像）${\varphi }_{1,1}:T_1\to T_1$に対して、任意の$f\in F_{T_1}(U_1)$に対して、$f\circ {\varphi }_{1,1}{|}_{{{\varphi }_{1,1}}^{-1}(U_1)}\in F_{T_1}({{\varphi }_{1,1}}^{-1}(U_1))$？${\varphi }_{1,1}$はアイデンティマップ（恒等写像）であるので、$f\circ {\varphi }_{1,1}{|}_{{{\varphi }_{1,1}}^{-1}(U_1)}=f\circ {\varphi }_{1,1}{|}_{U_1}=f\in F_{T_1}(U_1)$。

アソシアティビティ（結合性）は、マップ（写像）たちコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）であるから。

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3: 注

何物たちかを"モーフィズム（射）たち"と単に呼んだからといって、それらがモーフィズム（射）たちになるわけではない; それらはモーフィズム（射）たちであるための条件を満たさなければならない。

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参考資料

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