ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリーモーフィズム（射）たちはモーフィズム（射）たちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
ファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たちカテゴリー\(C\)に対するモーフィズム（射）たちの定義は妥当である。以下が定義である: 任意のファンクショナルに（関数により）ストラクチャード（構造化された）トポロジカルスペース（空間）たち\((T_1, F_{T_1})\)および\((T_2, F_{T_2})\)に対して、モーフィズム（射）たち\(C ((T_1, F_{T_1}), (T_2, F_{T_2}))\)は以下を満たすコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち\(\{\phi: T_1 \to T_2\}\)、つまり、任意の\(f \in F_{T_2} (U_2)\)に対して、\(f \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U_2)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U_2))\); モーフィズム（射）たちのコンポジション（合成）は当該コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）である; 任意のモーフィズム（射）はアイデンティマップ（恒等写像）である。
2: 証明
モーフィズム（射）たちのトランジティビティ（推移性）をチェックしよう。任意のモーフィズム（射）たち\(\phi_{1, 2}: (T_1, F_{T_1}) \to (T_2, F_{T_2})\)および\(\phi_{2, 3}: (T_2, F_{T_2}) \to (T_3, F_{T_3})\)に対して、\(\phi_{2, 3} \circ \phi_{1, 2}\)はモーフィズム（射）\((T_1, F_{T_1}) \to (T_3, F_{T_3})\)であるか？任意の\(f \in F_{T_3} (U_3)\)に対して、\(f \circ \phi_{2, 3} \circ \phi_{1, 2} \vert_{(\phi_{2, 3} \circ \phi_{1, 2})^{-1} (U_3)} \in F_{T_1} ((\phi_{2, 3} \circ \phi_{1, 2})^{-1} (U_3))\)？\(f \circ \phi_{2, 3} \vert_{{\phi_{2, 3}}^{-1} (U_3)} \in F_{T_2} ({\phi_{2, 3}}^{-1} (U_3))\)。\(f \circ \phi_{2, 3} \circ \phi_{1, 2} \vert_{{\phi_{1, 2}}^{-1} ({\phi_{2, 3}}^{-1} (U_3))} = (f \circ \phi_{2, 3}) \circ \phi_{1, 2} \vert_{{\phi_{1, 2}}^{-1} ({\phi_{2, 3}}^{-1} (U_3))} \in F_{T_1} ({\phi_{1, 2}}^{-1} ({\phi_{2, 3}}^{-1} (U_3))) = F_{T_1} ((\phi_{2, 3} \circ \phi_{1, 2})^{-1} (U_3))\)。
アイデンティマップ（恒等写像）がモーフィズム（射）であることをチェックしよう。任意のオブジェクト\((T_1, F_{T_1})\)、アイデンティマップ（恒等写像）\(\phi_{1, 1}: T_1 \to T_1\)に対して、任意の\(f \in F_{T_1} (U_1)\)に対して、\(f \circ \phi_{1, 1} \vert_{{\phi_{1, 1}}^{-1} (U_1)} \in F_{T_1} ({\phi_{1, 1}}^{-1} (U_1))\)？\(\phi_{1, 1}\)はアイデンティマップ（恒等写像）であるので、\(f \circ \phi_{1, 1} \vert_{{\phi_{1, 1}}^{-1} (U_1)} = f \circ \phi_{1, 1} \vert_{U_1} = f \in F_{T_1} (U_1)\)。
アソシアティビティ（結合性）は、マップ（写像）たちコンポジション（合成）たちはアソシアティブ（結合的）であるから。
3: 注
何物たちかを"モーフィズム（射）たち"と単に呼んだからといって、それらがモーフィズム（射）たちになるわけではない; それらはモーフィズム（射）たちであるための条件を満たさなければならない。
