373: コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である

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コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）の定義を知っている。
• 読者は、コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）のコドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）$\{F_{T_1}(U)\}$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$\varphi :T_1\to T_2$に対して、インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）$\{F_{T_2}(U)=\{f:U\to \mathbb{R}|f\text{ はコンティニュアス（連続）である }\wedge f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))\}\}$はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である。

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2: 証明

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第1条件: $F_{T_2}(U)$は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブアルジェブラ（部分多元環）である、を証明しよう。$F_{T_2}(U)$は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブセット（部分集合）である、なぜなら、$f$は定義によりコンティニュアス（連続）である。当該サブセット（部分集合）はアディション（加法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。$f_i\in F_{T_2}(U)$であると仮定しよう。$f_1+f_2\in F_{T_2}(U)$？$f_1+f_2$はコンティニュアス（連続）である。$(f_1+f_2)\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$？$f_i\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$。$f_1\circ \varphi +f_2\circ \varphi \in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$、しかし、$f_1\circ \varphi +f_2\circ \varphi =(f_1+f_2)\circ \varphi$。当該サブセット（部分集合）はスカラーマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。$f\in F_{T_2}(U)$および$r\in \mathbb{R}$であると仮定しよう。$rf\in F_{T_2}(U)$？$rf$はコンティニュアス（連続）である。$(rf)\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$？$f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$。$r(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$、しかし、$r(f\circ \varphi )=(rf)\circ \varphi$。当該サブセット（部分集合）はマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。$f_i\in F_{T_2}(U)$であると仮定しよう。$f_1{f}_2\in F_{T_2}(U)$？$f_1{f}_2$はコンティニュアス（連続）である。$(f_1{f}_2)\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$？$f_i\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$。$(f_1\circ \varphi )(f_2\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$、しかし、$(f_1\circ \varphi )(f_2\circ \varphi )=(f_1{f}_2)\circ \varphi$。任意の$f_i\in F_{T_2}(U)$に対して、レフト（左）ディストリビュータビリティ（分配性）$(f_1+f_2)f_3=f_1{f}_3+f_2{f}_3$は成立する。任意の$f_i\in F_{T_2}(U)$に対して、ライト（右）ディストリビュータビリティ（分配性）$f_3(f_1+f_2)=f_3{f}_1+f_3{f}_1$は成立する。任意の$f_i\in F_{T_2}(U)$および$r_i\in \mathbb{R}$に対して、スカラーたちとのコンパティビリティ（互換性）$(r_1{f}_1)(r_2{f}_2)=(r_1{r}_2)(f_1{f}_2)$は成立する。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第2条件: $F_{T_2}(U)$は全コンスタントファンクション（関数）たちを包含する、を満たすことを証明しよう。任意のコンスタントファンクション（関数）$f:U\to \mathbb{R}$に対して、$f\circ \varphi$はコンスタントである、したがって、$f\circ \varphi \in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第3条件: 任意のオープン（開）$V\subseteq U$および任意の$f\in F_{T_2}(U)$に対して、$f{|}_V\in F_{T_2}(V)$、を満たすことを証明しよう。$f{|}_V\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(V)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(V))$？$f\circ \varphi \in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$。${\varphi }^{-1}(V)\subseteq {\varphi }^{-1}(U)$。$(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(V)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(V))$、しかし、$(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(V)}=f{|}_V\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(V)}$、なぜなら、任意の$p\in {\varphi }^{-1}(V)$に対して、$(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(V)}(p)=f{|}_V\circ \varphi (p)$。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第4条件: 任意のオープンカバー（開被覆）$U={\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$および以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）$f:U\to \mathbb{R}$、つまり、$f{|}_{U_{\alpha }}\in F_{T_2}(U_{\alpha })$、に対して、$f\in F_{T_2}(U)$、を満たすことを証明しよう。$f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$？$f{|}_{U_{\alpha }}\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U_{\alpha })}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U_{\alpha }))$、しかし、$f{|}_{U_{\alpha }}\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U_{\alpha })}=(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(U_{\alpha })}$、しかし、$(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(U_{\alpha })}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U_{\alpha }))$。${\varphi }^{-1}(U)={\cup }_{\alpha }{\varphi }^{-1}(U_{\alpha })$。したがって、$(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$、しかし、$(f\circ \varphi ){|}_{{\varphi }^{-1}(U)}=f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}$、したがって、$f\circ \varphi {|}_{{\varphi }^{-1}(U)}\in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))$。

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3: 注

$\{F_{T_2}(U)=\{f:U\to \mathbb{R}|f\text{ はコンティニュアス（連続）である }\wedge f\circ \varphi \in F_{T_1}({\varphi }^{-1}(U))\}\}$を"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"と単に呼んだからといって、$\{F_{T_2}(U)\}$がファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることが保証されるわけではなく、当該4条件を満たすことが要求される。

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参考資料

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