コンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）コドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）トポロジカルスペース（空間）たちマップ（写像）のコドメイン（余域）上のインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）\(\{F_{T_1} (U)\}\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(\phi: T_1 \to T_2\)に対して、インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）\(\{F_{T_2} (U) = \{f: U \to \mathbb{R}\vert f \text{ はコンティニュアス（連続）である } \land f \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\}\}\)はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である。
2: 証明
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第1条件: \(F_{T_2} (U)\)は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブアルジェブラ（部分多元環）である、を証明しよう。\(F_{T_2} (U)\)は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブセット（部分集合）である、なぜなら、\(f\)は定義によりコンティニュアス（連続）である。当該サブセット（部分集合）はアディション（加法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。\(f_i \in F_{T_2} (U)\)であると仮定しよう。\(f_1 + f_2 \in F_{T_2} (U)\)？\(f_1 + f_2\)はコンティニュアス（連続）である。\((f_1 + f_2) \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)？\(f_i \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)。\(f_1 \circ \phi + f_2 \circ \phi \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)、しかし、\(f_1 \circ \phi + f_2 \circ \phi = (f_1 + f_2) \circ \phi\)。当該サブセット（部分集合）はスカラーマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。\(f \in F_{T_2} (U)\)および\(r \in \mathbb{R}\)であると仮定しよう。\(r f \in F_{T_2} (U)\)？\(r f\)はコンティニュアス（連続）である。\((r f) \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)？\(f \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)。\(r (f \circ \phi) \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)、しかし、\(r (f \circ \phi) = (r f) \circ \phi\)。当該サブセット（部分集合）はマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。\(f_i \in F_{T_2} (U)\)であると仮定しよう。\(f_1 f_2 \in F_{T_2} (U)\)？\(f_1 f_2\)はコンティニュアス（連続）である。\((f_1 f_2) \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)？\(f_i \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)。\((f_1 \circ \phi) (f_2 \circ \phi) \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)、しかし、\((f_1 \circ \phi) (f_2 \circ \phi) = (f_1 f_2) \circ \phi\)。任意の\(f_i \in F_{T_2} (U)\)に対して、レフト（左）ディストリビュータビリティ（分配性）\((f_1 + f_2) f_3 = f_1 f_3 + f_2 f_3\)は成立する。任意の\(f_i \in F_{T_2} (U)\)に対して、ライト（右）ディストリビュータビリティ（分配性）\(f_3 (f_1 + f_2) = f_3 f_1 + f_3 f_1\)は成立する。任意の\(f_i \in F_{T_2} (U)\)および\(r_i \in \mathbb{R}\)に対して、スカラーたちとのコンパティビリティ（互換性）\((r_1 f_1) (r_2 f_2) = (r_1 r_2) (f_1 f_2)\)は成立する。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第2条件: \(F_{T_2} (U)\)は全コンスタントファンクション（関数）たちを包含する、を満たすことを証明しよう。任意のコンスタントファンクション（関数）\(f: U \to \mathbb{R}\)に対して、\(f \circ \phi\)はコンスタントである、したがって、\(f \circ \phi \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第3条件: 任意のオープン（開）\(V \subseteq U\)および任意の\(f \in F_{T_2} (U)\)に対して、\(f\vert_V \in F_{T_2} (V)\)、を満たすことを証明しよう。\(f\vert_V \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (V)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (V))\)？\(f \circ \phi \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)。\(\phi^{-1} (V) \subseteq \phi^{-1} (U)\)。\((f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (V)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (V))\)、しかし、\((f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (V)} = f\vert_V \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (V)}\)、なぜなら、任意の\(p \in \phi^{-1} (V)\)に対して、\((f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (V)} (p) = f\vert_V \circ \phi (p)\)。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第4条件: 任意のオープンカバー（開被覆）\(U = \cup_\alpha U_\alpha\)および以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）\(f: U \to \mathbb{R}\)、つまり、\(f \vert_{U_\alpha} \in F_{T_2} (U_\alpha)\)、に対して、\(f \in F_{T_2} (U)\)、を満たすことを証明しよう。\(f \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)？\(f\vert_{U_\alpha} \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U_\alpha)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U_\alpha))\)、しかし、\(f\vert_{U_\alpha} \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U_\alpha)} = (f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (U_\alpha)}\)、しかし、\((f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (U_\alpha)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U_\alpha))\)。\(\phi^{-1} (U) = \cup_\alpha \phi^{-1} (U_\alpha)\)。したがって、\((f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)、しかし、\((f \circ \phi)\vert_{\phi^{-1} (U)} = f \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)}\)、したがって、\(f \circ \phi \vert_{\phi^{-1} (U)} \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\)。
3: 注
\(\{F_{T_2} (U) = \{f: U \to \mathbb{R}\vert f \text{ はコンティニュアス（連続）である } \land f \circ \phi \in F_{T_1} (\phi^{-1} (U))\}\}\)を"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"と単に呼んだからといって、\(\{F_{T_2} (U)\}\)がファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることが保証されるわけではなく、当該4条件を満たすことが要求される。
