トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T_1\)、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）\(T_2 \subseteq T_1\)、任意のファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）\(\{F_{T_1} (U)\}\)に対して、インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）\(\{F_{T_2} (U = U' \cap T_2) = \{f: U \rightarrow \mathbb{R}\vert f \text{ はコンティニュアス（連続）である } \land \text{ 任意のポイント} p \in U \text{ に対して、 }\text{ 以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍） } U'_p \subseteq U', \text{ およびある } g \in F_{T_1} (U'_p) \text{ 、つまり、 } f\vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2} \text{ 、がある }\}\}\)はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である。
2: 証明
第1に、それはウェルデファインド（妥当に定義されている）ことを証明しよう、それが意味するのは、\(U'\)はユニークではないが、それは、\(U'\)の選択には依存しない。以下を満たす別のオープンサブセット（開部分集合）\(U'' \subseteq T_1\)、つまり、\(U = U'' \cap T_2\)、があると仮定しよう。\(U'\)に対して要件を満たす任意の\(f\)は\(U''\)に対して要件を満たすか？\(U''_p = U'_p \cap U''\)を\(U'_p\)の代わりに取ることができる。すると、\(U''_p \subseteq U''\); \(g \vert_{U''_p} \in F_{T_1} (U''_p)\)および\(f\vert_{U''_p \cap T_2} = g\vert_{U''_p \cap T_2}\)。したがって、はい、\(f\)は\(U''\)に対して要件を満たす。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第1条件: \(F_{T_2} (U)\)は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブアルジェブラ（部分多元環）である、を満たすことを証明しよう。\(F_{T_2} (U)\)は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブセット（部分集合）である、なぜなら、\(f\)は定義によりコンティニュアス（連続）である。当該サブセット（部分集合）はアディション（加法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。\(f_i \in F_{T_2} (U)\)であると仮定しよう。\(f_1 + f_2 \in F_{T_2} (U)\)？\(f_1 + f_2\)はコンティニュアス（連続）である。以下を満たす\(U'_p \subseteq U'\)および\(g \in F_{T_2} (U'_p)\)、つまり、\((f_1 + f_2) \vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2}\)、があるか？以下を満たす\(U'_{p, i} \subseteq U'\)および\(g_i \in F_{T_1} (U'_{p, i})\)、つまり、\(f_i\vert_{U'_{p, i} \cap T_2} = g_i\vert_{U'_{p, i} \cap T_2}\)、がある。\(U'_p := U'_{p, 1} \cap U'_{p, 2}\)および\(g := g_1\vert_{U'_p} + g_2\vert_{U'_p}\)を定義しよう。すると、\(U'_p\)および\(g\)は当該条件たちを満たすかだろう、なぜなら、\(g_i \vert_{U'_p} \in F_{T_1} (U'_p)\)および\(g \in F_{T_1} (U'_p)\); \((f_1 + f_2) \vert_{U'_p \cap T_2} = (g_1 + g_2) \vert_{U'_p \cap T_2} = g \vert_{U'_p \cap T_2}\)。当該サブセット（部分集合）はスカラーマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。\(f \in F_{T_2} (U)\)および\(r \in \mathbb{R}\)であると仮定しよう。\(r f \in F_{T_2} (U)\)？\(r f\)はコンティニュアス（連続）である。以下を満たす\(U'_p \subseteq U'\)および\(g \in F_{T_2} (U'_p)\)、つまり、\(r f\vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2}\)、があるか？以下を満たす\(U'_p \subseteq U'\)および\(g \in F_{T_1} (U'_p)\)、つまり、\(f\vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2}\)、がある。\(r g \in F_{T_1} (U'_p)\)および\(r f\vert_{U'_p \cap T_2} = r g\vert_{U'_p \cap T_2}\)。当該サブセット（部分集合）はマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。\(f_i \in F_{T_2} (U)\)であると仮定しよう。\(f_1 f_2 \in F_{T_2} (U)\)？\(f_1 f_2\)はコンティニュアス（連続）である。以下を満たす\(U'_p \subseteq U'\)および\(g \in F_{T_2} (U'_p)\)、つまり、\((f_1 f_2) \vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2}\)、があるか？以下を満たす\(U'_{p, i} \subseteq U'\)および\(g_i \in F_{T_1} (U'_{p, i})\)、つまり、\(f_i\vert_{U'_{p, i} \cap T_2} = g_i\vert_{U'_{p, i} \cap T_2}\)、がある。\(U'_p := U'_{p, 1} \cap U'_{p, 2}\)および\(g := g_1\vert_{U'_p} g_2\vert_{U'_p}\)を定義しよう。すると、\(U'_p\)および\(g\)は当該条件たちを満足するだろう、なぜなら、\(g_i \vert_{U'_p} \in F_{T_1} (U'_p)\)および\(g \in F_{T_1} (U'_p)\); \((f_1 f_2) \vert_{U'_p \cap T_2} = (g_1 g_2) \vert_{U'_p \cap T_2} = g \vert_{U'_p \cap T_2}\)。任意の\(f_i \in F_{T_2} (U)\)に対して、レフト（左）ディストリビュータビリティ（分配性）\((f_1 + f_2) f_3 = f_1 f_3 + f_2 f_3\)は成立する。任意の\(f_i \in F_{T_2} (U)\)に対して、ライト（右）ディストリビュータビリティ（分配性）\(f_3 (f_1 + f_2) = f_3 f_1 + f_3 f_1\)は成立する。任意の\(f_i \in F_{T_2} (U)\)および\(r_i \in \mathbb{R}\)に対して、スカラーたちとのコンパティビリティ（互換性）\((r_1 f_1) (r_2 f_2) = (r_1 r_2) (f_1 f_2)\)は成立する。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第2条件: \(F_{T_2} (U)\)は全コンスタントファンクション（関数）たちを包含する、を満たすことを証明しよう。任意のコンスタントファンクション（関数）\(f: U \rightarrow \mathbb{R}\)に対して、以下を満たす\(U'_p = U'\)およびコンスタントファンクション（関数）\(g \in F_{T_1} (U'_p)\)、つまり、\(f \vert_{U'_p \cap T_2} = g \vert_{U'_p \cap T_2}\)、がある。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第3条件: 任意のオープン（開）\(V \subseteq U\)および任意の\(f \in F_{T_2} (U)\)に対して、\(f\vert_V \in F_{T_2} (V)\)、を満たすことを証明しよう。\(V = V' \cap T_2\)、ここで、\(V' \subseteq U'\)はオープン（開）である。任意のポイント\(p \in V \subseteq U\)に対して、以下を満たす\(U'_p \subseteq U'\)および\(g \in F_{T_1} (U'_p)\)、つまり、\(f\vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2}\)、がある。\(U''_p := U'_p \cap V'\)を定義しよう。すると、\(g\vert_{U''_p} \in F_{T_1} (U''_p)\)および\(f\vert_{U''_p \cap T_2} = g\vert_{U''_p \cap T_2}\)。
当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第4条件: 以下を満たす任意のオープンカバー（開被覆）\(U = \cup_\alpha U_\alpha\)および任意のコンティニュアス（連続）\(f: U \rightarrow \mathbb{R}\)、つまり、\(f_{U_\alpha} \in F_{T_2} (U_\alpha)\)、に対して、\(f \in F_{T_2} (U)\)、を満たすことを証明しよう。\(U_\alpha = U'_\alpha \cap T_2\)、ここで、\(U'_\alpha\)を\(U'_\alpha \subseteq U'\)であると取ることができる、なぜなら、もしもそうでなければ、\(U'_\alpha \cap U'\)を代わりに使うことができる。任意のポイント\(p \in U\)に対して、ある\(\alpha\)に対して、\(p \in U_\alpha = U'_\alpha \cap T_2\)。以下を満たすある\(U'_{p, \alpha} \subseteq U'_\alpha \subseteq U'\)およびある\(g \in F_{T_1} (U'_{p, \alpha})\)、つまり、\(f\vert_{U'_{p, \alpha} \cap T_2} = g\vert_{U'_{p, \alpha} \cap T_2}\)、がある。したがって、\(U'_p := U'_{p, \alpha}\)および\(g\)で十分である。
3: 注
\(\{F_{T_1} (U)\}\)に対して、インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）\(\{F_{T_2} (U = U' \cap T_2) = \{f: U \rightarrow \mathbb{R}\vert f \text{ はコンティニュアス（連続）である } \land \text{ 任意のポイント} p \in U \text{ に対して、 }\text{ 以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍） } U'_p \subseteq U', \text{ およびある } g \in F_{T_1} (U'_p) \text{ 、つまり、 } f\vert_{U'_p \cap T_2} = g\vert_{U'_p \cap T_2} \text{ 、がある }\}\}\)を"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"と単に呼んだからといって、\(\{F_{T_2} (U)\}\)がファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることが保証されるわけではなく、当該4条件を満たすことが要求される。
