374: トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である

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トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）の任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上のインクルージョン（封入）によるインデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T_1$、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）$T_2\subseteq T_1$、任意のファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）$\{F_{T_1}(U)\}$に対して、インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）$\{F_{T_2}(U=U^{\prime }\cap T_2)=\{f:U\to \mathbb{R}|f\text{ はコンティニュアス（連続）である }\wedge \text{ 任意のポイント}p\in U\text{ に対して、 }\text{ 以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍） }{U}_p^{\prime }\subseteq U^{\prime },\text{ およびある }g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })\text{ 、つまり、 }f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}\text{ 、がある }\}\}$はファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）である。

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2: 証明

第1に、それはウェルデファインド（妥当に定義されている）ことを証明しよう、それが意味するのは、$U^{\prime }$はユニークではないが、それは、$U^{\prime }$の選択には依存しない。以下を満たす別のオープンサブセット（開部分集合）$U^{″}\subseteq T_1$、つまり、$U=U^{″}\cap T_2$、があると仮定しよう。$U^{\prime }$に対して要件を満たす任意の$f$は$U^{″}$に対して要件を満たすか？$U_p^{″}=U_p^{\prime }\cap U^{″}$を$U_p^{\prime }$の代わりに取ることができる。すると、$U_p^{″}\subseteq U^{″}$; $g{|}_{U_p^{″}}\in F_{T_1}(U_p^{″})$および$f{|}_{U_p^{″}\cap T_2}=g{|}_{U_p^{″}\cap T_2}$。したがって、はい、$f$は$U^{″}$に対して要件を満たす。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第1条件: $F_{T_2}(U)$は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブアルジェブラ（部分多元環）である、を満たすことを証明しよう。$F_{T_2}(U)$は全コンティニュアス（連続）ファンクション（関数）たちアルジェブラ（多元環）のサブセット（部分集合）である、なぜなら、$f$は定義によりコンティニュアス（連続）である。当該サブセット（部分集合）はアディション（加法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。$f_i\in F_{T_2}(U)$であると仮定しよう。$f_1+f_2\in F_{T_2}(U)$？$f_1+f_2$はコンティニュアス（連続）である。以下を満たす$U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g\in F_{T_2}(U_p^{\prime })$、つまり、$(f_1+f_2){|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$、があるか？以下を満たす$U_{p,i}^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g_i\in F_{T_1}(U_{p,i}^{\prime })$、つまり、$f_i{|}_{U_{p,i}^{\prime }\cap T_2}=g_i{|}_{U_{p,i}^{\prime }\cap T_2}$、がある。$U_p^{\prime }:=U_{p,1}^{\prime }\cap U_{p,2}^{\prime }$および$g:=g_1{|}_{U_p^{\prime }}+g_2{|}_{U_p^{\prime }}$を定義しよう。すると、$U_p^{\prime }$および$g$は当該条件たちを満たすかだろう、なぜなら、$g_i{|}_{U_p^{\prime }}\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$および$g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$; $(f_1+f_2){|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=(g_1+g_2){|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$。当該サブセット（部分集合）はスカラーマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。$f\in F_{T_2}(U)$および$r\in \mathbb{R}$であると仮定しよう。$rf\in F_{T_2}(U)$？$rf$はコンティニュアス（連続）である。以下を満たす$U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g\in F_{T_2}(U_p^{\prime })$、つまり、$rf{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$、があるか？以下を満たす$U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$、つまり、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$、がある。$rg\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$および$rf{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=rg{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$。当該サブセット（部分集合）はマルチプリケーション（乗法）の下にクローズドである（閉じている）ことをチェックしよう。$f_i\in F_{T_2}(U)$であると仮定しよう。$f_1{f}_2\in F_{T_2}(U)$？$f_1{f}_2$はコンティニュアス（連続）である。以下を満たす$U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g\in F_{T_2}(U_p^{\prime })$、つまり、$(f_1{f}_2){|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$、があるか？以下を満たす$U_{p,i}^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g_i\in F_{T_1}(U_{p,i}^{\prime })$、つまり、$f_i{|}_{U_{p,i}^{\prime }\cap T_2}=g_i{|}_{U_{p,i}^{\prime }\cap T_2}$、がある。$U_p^{\prime }:=U_{p,1}^{\prime }\cap U_{p,2}^{\prime }$および$g:=g_1{|}_{U_p^{\prime }}{g}_2{|}_{U_p^{\prime }}$を定義しよう。すると、$U_p^{\prime }$および$g$は当該条件たちを満足するだろう、なぜなら、$g_i{|}_{U_p^{\prime }}\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$および$g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$; $(f_1{f}_2){|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=(g_1{g}_2){|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$。任意の$f_i\in F_{T_2}(U)$に対して、レフト（左）ディストリビュータビリティ（分配性）$(f_1+f_2)f_3=f_1{f}_3+f_2{f}_3$は成立する。任意の$f_i\in F_{T_2}(U)$に対して、ライト（右）ディストリビュータビリティ（分配性）$f_3(f_1+f_2)=f_3{f}_1+f_3{f}_1$は成立する。任意の$f_i\in F_{T_2}(U)$および$r_i\in \mathbb{R}$に対して、スカラーたちとのコンパティビリティ（互換性）$(r_1{f}_1)(r_2{f}_2)=(r_1{r}_2)(f_1{f}_2)$は成立する。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第2条件: $F_{T_2}(U)$は全コンスタントファンクション（関数）たちを包含する、を満たすことを証明しよう。任意のコンスタントファンクション（関数）$f:U\to \mathbb{R}$に対して、以下を満たす$U_p^{\prime }=U^{\prime }$およびコンスタントファンクション（関数）$g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$、つまり、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$、がある。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第3条件: 任意のオープン（開）$V\subseteq U$および任意の$f\in F_{T_2}(U)$に対して、$f{|}_V\in F_{T_2}(V)$、を満たすことを証明しよう。$V=V^{\prime }\cap T_2$、ここで、$V^{\prime }\subseteq U^{\prime }$はオープン（開）である。任意のポイント$p\in V\subseteq U$に対して、以下を満たす$U_p^{\prime }\subseteq U^{\prime }$および$g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })$、つまり、$f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}$、がある。$U_p^{″}:=U_p^{\prime }\cap V^{\prime }$を定義しよう。すると、$g{|}_{U_p^{″}}\in F_{T_1}(U_p^{″})$および$f{|}_{U_p^{″}\cap T_2}=g{|}_{U_p^{″}\cap T_2}$。

当該"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"は第4条件: 以下を満たす任意のオープンカバー（開被覆）$U={\cup }_{\alpha }{U}_{\alpha }$および任意のコンティニュアス（連続）$f:U\to \mathbb{R}$、つまり、$f_{U_{\alpha }}\in F_{T_2}(U_{\alpha })$、に対して、$f\in F_{T_2}(U)$、を満たすことを証明しよう。$U_{\alpha }=U_{\alpha }^{\prime }\cap T_2$、ここで、$U_{\alpha }^{\prime }$を$U_{\alpha }^{\prime }\subseteq U^{\prime }$であると取ることができる、なぜなら、もしもそうでなければ、$U_{\alpha }^{\prime }\cap U^{\prime }$を代わりに使うことができる。任意のポイント$p\in U$に対して、ある$\alpha$に対して、$p\in U_{\alpha }=U_{\alpha }^{\prime }\cap T_2$。以下を満たすある$U_{p,\alpha }^{\prime }\subseteq U_{\alpha }^{\prime }\subseteq U^{\prime }$およびある$g\in F_{T_1}(U_{p,\alpha }^{\prime })$、つまり、$f{|}_{U_{p,\alpha }^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_{p,\alpha }^{\prime }\cap T_2}$、がある。したがって、$U_p^{\prime }:=U_{p,\alpha }^{\prime }$および$g$で十分である。

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3: 注

$\{F_{T_1}(U)\}$に対して、インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）$\{F_{T_2}(U=U^{\prime }\cap T_2)=\{f:U\to \mathbb{R}|f\text{ はコンティニュアス（連続）である }\wedge \text{ 任意のポイント}p\in U\text{ に対して、 }\text{ 以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍） }{U}_p^{\prime }\subseteq U^{\prime },\text{ およびある }g\in F_{T_1}(U_p^{\prime })\text{ 、つまり、 }f{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}=g{|}_{U_p^{\prime }\cap T_2}\text{ 、がある }\}\}$を"インデュースト（誘引された）ファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）"と単に呼んだからといって、$\{F_{T_2}(U)\}$がファンクショナル（関数による）ストラクチャー（構造）であることが保証されるわけではなく、当該4条件を満たすことが要求される。

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参考資料

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