ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントたちシーケンス（列）およびサブセット（部分集合）についてのいくつかの事実の記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
- 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対する命題、1) 任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の中にある、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）上のあるポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）である場合、そしてその場合に限って; 2) 任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）にある、もしも、当該ポイントへコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列） がイベンチュアリーに（その内には）当該サブセット（部分集合）の中に入る場合、そしてその場合に限って; 3) 任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、当該サブセット（部分集合）上の全てのコンバージ（収束）するポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）を当該サブセット（部分集合）が包含する場合、そしてその場合に限って; 4) 任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）上のあるポイントにコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）がイベンチュアリーに（その内には）当該サブセット（部分集合）の中に入る場合、そしてその場合に限って、の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）\(T\)に対して、1) 任意のポイント\(p \in T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(p \in \overline{S}\)、もしも、\(p\)は\(S\)上のあるポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）である場合、そしてその場合に限って; 2) 任意のポイント\(p \in T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(p \in Int S\)、もしも、\(p\)へコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入る場合、そしてその場合に限って; 3) 任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)はクローズド（閉）である、もしも、\(S\)は\(S\)上の全てのコンバージ（収束）するポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）を包含する場合、そしてその場合に限って; 4) 任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、\(S\)はオープン（開）である、もしも、\(S\)上の任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入る場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(p\)の周りのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）を\(B_p\)と、\(B_p\)の中のカウントされたネイバーフッド（近傍）たちを\(B_1, B_2, ...\)と表わそう。
\(p\)の周りのネイバーフッド（近傍）たちの無限にカウンタブル（可算）な以下を満たすあるデクリーシング（減少する）シーケンス（列）\(B'_1, B'_2, ...\)、つまり、\(B'_{i + 1} \subseteq B'_i\)、を定義しよう、以下の通り。\(B'_1 := B_1\)、\(p\)の周りのあるネイバーフッド（近傍）、を定義しよう。\(B'_i\)、\(p\)の周りのネイバーフッド（近傍）、が既に決定されている時、以下を満たす最小の\(j\)、つまり、\(B_j \subseteq B_1 \cap B_2 \cap ... \cap B_i \cap B'_i\)、があり、\(B'_{i + 1} := B_j\)、それは\(p\)の周りのネイバーフッド（近傍）である、を定義しよう。\(B'_i \subseteq B_i\)および\(B'_{i + 1} \subseteq B'_i\)、したがって、任意の\(i \leq j\)に対して、\(B'_j \subseteq B_i\)。
1)を証明しよう。\(p \in \overline{S}\)であると仮定しよう。もしも、\(p \in S\)である場合、\(p\)はコンスタント\(p\)シーケンス（列）のリミット（極限）である、それは\(S\)上にいる。\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。\(B'_i \cap S \neq \emptyset\)であるので、あるポイント\(p_i \in B'_i \cap S\)を取ろう。\(p_1, p_2, ...\)は\(S\)上のポイントたちシーケンス（列）である。任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p\)に対して、ある\(B_i \subseteq U_p\)がある。すると、\(i \leq j\)に対して、\(p_j \in B'_j \subseteq U_p\)。したがって、\(p\)は当該ポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）である。
\(p\)は\(S\)上のあるポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）であると仮定しよう。もしも、\(p \in S\)である場合、\(p \in \overline{S}\)。もしも、\(p \notin S\)である場合、任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p\)に対して、\(p_i \in U_p\)、しかし、\(p_i \in S\)、したがって、\(p_i \in U_p \cap S\)。したがって、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。\(p \in \overline{S}\)、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。
2)を証明しよう。\(p \in Int S\)であると仮定しよう。\(p_1, p_2, ...\)は\(p\)へコンバージ（収束）する任意のポイントたちシーケンス（列）であると仮定しよう。あるネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq Int S \subseteq S\)があり、当該ポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）\(U_p\)の中に入る、したがって、\(S\)の中に入る。
\(p\)へコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入ると仮定しよう。\(p \notin Int S\)だと仮定しよう。すると、任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p\)に対して、\(\lnot U_p \subseteq S\)。特に、\(\lnot B'_i \subseteq S\)、そして、以下を満たすあるポイント\(p_i \in B'_i\)、つまり、\(p_i \notin S\)、を取ろう。\(p_1, p_2, ...\)は\(p\)へコンバージ（収束）する、なぜなら、任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p\)に対して、ある\(B_i \subseteq U_p\)がある、しかし、任意の\(i \leq j\)に対して、\(p_j \in B'_j \subseteq B_i \subseteq U_p\)、それ（当該ポイントたちシーケンス（列））はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入ることはない、矛盾。
3)を証明しよう。\(S\)はクローズド（閉）であると仮定しよう。\(S\)上の任意のコンバージ（収束）するポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）\(p\)に対して、\(p \in \overline{S}\)、1)によって。しかし、\(\overline{S} = S\)であるから、\(p \in S\)。
\(S\)は\(S\)上の全てのコンバージ（収束）するポイントたちシーケンスのリミット（極限）を包含すると仮定しよう。任意のポイント\(p \in \overline{S}\)に対して、\(p\)はそうしたあるシーケンス（列）のリミット（極限）である、1)によって。したがって、\(p \in S\)、仮定によって。したがって、\(\overline{S} \subseteq S \subseteq \overline{S}\)、したがって、\(\overline{S} = S\)。
4)を証明しよう。\(S\)はオープン（開）であると仮定しよう。任意のポイント\(p \in S\)へコンバージ（収束）する任意のポイントたちシーケンス（列）に対して、\(p \in Int S = S\)、したがって、当該シーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入る、2)によって。
\(S\)上の任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）\(S\)の中に入ると仮定しよう。任意のポイント\(p \in S\)に対して、\(p \in Int S\)、2)によって。したがって、\(S \subseteq Int S \subseteq S\)、したがって、\(Int S = S\)。
