375: ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントたちシーケンス（列）およびサブセット（部分集合）についてのいくつかの事実

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対して、ポイントたちシーケンス（列）およびサブセット（部分集合）についてのいくつかの事実の記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）上のポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のインテリア（内部）の定義を知っている。
• 読者は、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）に対する命題、1) 任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の中にある、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）上のあるポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）である場合、そしてその場合に限って; 2) 任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）のインテリア（内部）にある、もしも、当該ポイントへコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列） がイベンチュアリーに（その内には）当該サブセット（部分集合）の中に入る場合、そしてその場合に限って; 3) 任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、当該サブセット（部分集合）上の全てのコンバージ（収束）するポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）を当該サブセット（部分集合）が包含する場合、そしてその場合に限って; 4) 任意のサブセット（部分集合）はオープン（開）である、もしも、当該サブセット（部分集合）上のあるポイントにコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）がイベンチュアリーに（その内には）当該サブセット（部分集合）の中に入る場合、そしてその場合に限って、の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）$T$に対して、1) 任意のポイント$p\in T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$p\in \bar{S}$、もしも、$p$は$S$上のあるポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）である場合、そしてその場合に限って; 2) 任意のポイント$p\in T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$p\in IntS$、もしも、$p$へコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）$S$の中に入る場合、そしてその場合に限って; 3) 任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$S$はクローズド（閉）である、もしも、$S$は$S$上の全てのコンバージ（収束）するポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）を包含する場合、そしてその場合に限って; 4) 任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、$S$はオープン（開）である、もしも、$S$上の任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）$S$の中に入る場合、そしてその場合に限って。

---

2: 証明

$p$の周りのネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）を$B_p$と、$B_p$の中のカウントされたネイバーフッド（近傍）たちを$B_1,B_2,...$と表わそう。

$p$の周りのネイバーフッド（近傍）たちの無限にカウンタブル（可算）な以下を満たすあるデクリーシング（減少する）シーケンス（列）$B_1^{\prime },B_2^{\prime },...$、つまり、$B_{i+1}^{\prime }\subseteq B_i^{\prime }$、を定義しよう、以下の通り。$B_1^{\prime }:=B_1$、$p$の周りのあるネイバーフッド（近傍）、を定義しよう。$B_i^{\prime }$、$p$の周りのネイバーフッド（近傍）、が既に決定されている時、以下を満たす最小の$j$、つまり、$B_j\subseteq B_1\cap B_2\cap ...\cap B_i\cap B_i^{\prime }$、があり、$B_{i+1}^{\prime }:=B_j$、それは$p$の周りのネイバーフッド（近傍）である、を定義しよう。$B_i^{\prime }\subseteq B_i$および$B_{i+1}^{\prime }\subseteq B_i^{\prime }$、したがって、任意の$i\le j$に対して、$B_j^{\prime }\subseteq B_i$。

1)を証明しよう。$p\in \bar{S}$であると仮定しよう。もしも、$p\in S$である場合、$p$はコンスタント$p$シーケンス（列）のリミット（極限）である、それは$S$上にいる。$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。$B_i^{\prime }\cap S\ne \mathrm{\varnothing }$であるので、あるポイント$p_i\in B_i^{\prime }\cap S$を取ろう。$p_1,p_2,...$は$S$上のポイントたちシーケンス（列）である。任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$に対して、ある$B_i\subseteq U_p$がある。すると、$i\le j$に対して、$p_j\in B_j^{\prime }\subseteq U_p$。したがって、$p$は当該ポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）である。

$p$は$S$上のあるポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）であると仮定しよう。もしも、$p\in S$である場合、$p\in \bar{S}$。もしも、$p\notin S$である場合、任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$に対して、$p_i\in U_p$、しかし、$p_i\in S$、したがって、$p_i\in U_p\cap S$。したがって、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である。$p\in \bar{S}$、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）とサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）たちセット（集合）のユニオン（和集合）であるという命題によって。

2)を証明しよう。$p\in IntS$であると仮定しよう。$p_1,p_2,...$は$p$へコンバージ（収束）する任意のポイントたちシーケンス（列）であると仮定しよう。あるネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq IntS\subseteq S$があり、当該ポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）$U_p$の中に入る、したがって、$S$の中に入る。

$p$へコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）$S$の中に入ると仮定しよう。$p\notin IntS$だと仮定しよう。すると、任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$に対して、$\mathrm{\neg }{U}_p\subseteq S$。特に、$\mathrm{\neg }{B}_i^{\prime }\subseteq S$、そして、以下を満たすあるポイント$p_i\in B_i^{\prime }$、つまり、$p_i\notin S$、を取ろう。$p_1,p_2,...$は$p$へコンバージ（収束）する、なぜなら、任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$に対して、ある$B_i\subseteq U_p$がある、しかし、任意の$i\le j$に対して、$p_j\in B_j^{\prime }\subseteq B_i\subseteq U_p$、それ（当該ポイントたちシーケンス（列））はイベンチュアリーに（その内には）$S$の中に入ることはない、矛盾。

3)を証明しよう。$S$はクローズド（閉）であると仮定しよう。$S$上の任意のコンバージ（収束）するポイントたちシーケンス（列）のリミット（極限）$p$に対して、$p\in \bar{S}$、1)によって。しかし、$\bar{S}=S$であるから、$p\in S$。

$S$は$S$上の全てのコンバージ（収束）するポイントたちシーケンスのリミット（極限）を包含すると仮定しよう。任意のポイント$p\in \bar{S}$に対して、$p$はそうしたあるシーケンス（列）のリミット（極限）である、1)によって。したがって、$p\in S$、仮定によって。したがって、$\bar{S}\subseteq S\subseteq \bar{S}$、したがって、$\bar{S}=S$。

4)を証明しよう。$S$はオープン（開）であると仮定しよう。任意のポイント$p\in S$へコンバージ（収束）する任意のポイントたちシーケンス（列）に対して、$p\in IntS=S$、したがって、当該シーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）$S$の中に入る、2)によって。

$S$上の任意のポイントへコンバージ（収束）する全てのポイントたちシーケンス（列）はイベンチュアリーに（その内には）$S$の中に入ると仮定しよう。任意のポイント$p\in S$に対して、$p\in IntS$、2)によって。したがって、$S\subseteq IntS\subseteq S$、したがって、$IntS=S$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>