365: C^\inftyベクトルたちフィールド（場）はその、全C^\inftyベクトルたちフィールドたちとのC^\inftyメトリック（計量）値ファンクション（関数）たちによってユニークに定義される

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）はその、全$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドたちとの$C^{\mathrm{\infty }}$メトリック（計量）値ファンクション（関数）たちによってユニークに定義されることの記述/証明

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話題

About: リーマニアンマニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
• 読者は、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）上の任意のポイントの周りに、カノニカル（自然）なフレームがオーソノーマル（正規直交）であるチャートがあるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイントネイバーフッド（近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドに対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）で、当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のベクトルたちフィールド（場）に等しいものがあるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）に対して、全ベクトルたちフィールド（場）たちに関する任意の$C^{\mathrm{\infty }}$メトリック（計量）値ファンクション（関数）たちのセット（集合）はユニークな$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）を定義するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）$M$に対して、任意の$C^{\mathrm{\infty }}(M)$リニアマップ（写像）$f:\mathfrak{X}(M)\to C^{\mathrm{\infty }}(M)$は以下を満たすユニークな$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）$V\in \mathfrak{X}(M)$、つまり、$⟨V,V^{\prime }⟩=f(V^{\prime })$、を定義する。

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2: 証明

任意のポイント$p\in M$の周りに、以下を満たすあるチャート$(U_p,{\varphi }_p)$、つまり、$({\partial }_1,{\partial }_2,...,{\partial }_n)$はオーソノーマル（正規直交）フレーム、を取ろう、それは可能である、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）上の任意のポイントの周りに、カノニカル（自然）なフレームがオーソノーマル（正規直交）であるチャートがあるという命題によって。以下を定義しよう、つまり、$V^i:=f({\partial }_i)$および$V:=V^i{\partial }_i$。$V^{\prime }=V^{\prime i}{\partial }_i$。$⟨V,V^{\prime }⟩=\sum _i{V}^i{V}^{\prime i}=\sum _{i}f({\partial }_i)V^{\prime i}=f(\sum _i{V}^{\prime i}{\partial }_i)=f(V^{\prime })$。したがって、$U_p$上には当該条件を満たすそうしたある$V$がある。

任意の$p^{\prime }\in U_p$に対して、$p^{\prime }$を包含する別のチャートによる別の$V$があると仮定して、以下を満たす$V^{\prime }$、つまり、$p^{\prime }$上で$V^{\prime i}=1$および$j\ne i$に対して$V^{\prime j}=0$、を取って（$U_p$上に以下を満たす$V^{″}$、つまり、$V^{″i}=1$および$j\ne i$に対して$V^{″j}=0$、があり、$M$上にそうした$V^{\prime }$がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）の任意のポイントネイバーフッド（近傍）上の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールドに対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）で、当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のベクトルたちフィールド（場）に等しいものがあるという命題によって）、$⟨V,V^{\prime }⟩{|}_{p^{\prime }}=V^i(p^{\prime })=f(V^{\prime })(p^{\prime })=f({\partial }_i)(p^{\prime })$、したがって、その別$V$は前パラグラフ内の$V$とインターセクション（共通集合）上で一致する。したがって、$V$は$M$全体上でウェルデファインド（妥当に定義されている）である。

$V$は$M$上の任意のポイントの周りでローカルに$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちフィールド（場）であるので、$V$は$M$全体で$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$V$はユニークである、なぜなら、それがどのような方法で構成されたにせよ、それは$U_p$上で$V^i=f({\partial }_i)$を満たさなければならない、したがって、その$V$は任意の$U_p$上で、したがって、$M$全体上で、私たちの$V$に等しい。

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参考資料

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