\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）はその、全\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドたちとの\(C^\infty\)メトリック（計量）値ファンクション（関数）たちによってユニークに定義されることの記述/証明
話題
About: リーマニアンマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリック（計量）の定義を知っている。
- 読者は、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）上の任意のポイントの周りに、カノニカル（自然）なフレームがオーソノーマル（正規直交）であるチャートがあるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントネイバーフッド（近傍）上の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）で、当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のベクトルたちフィールド（場）に等しいものがあるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）に対して、全ベクトルたちフィールド（場）たちに関する任意の\(C^\infty\)メトリック（計量）値ファンクション（関数）たちのセット（集合）はユニークな\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）を定義するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）\(M\)に対して、任意の\(C^\infty (M)\)リニアマップ（写像）\(f: \mathfrak{X} (M) \rightarrow C^\infty (M)\)は以下を満たすユニークな\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）\(V \in \mathfrak{X} (M)\)、つまり、\(\langle V, V' \rangle = f (V')\)、を定義する。
2: 証明
任意のポイント\(p \in M\)の周りに、以下を満たすあるチャート\((U_p, \phi_p)\)、つまり、\((\partial_1, \partial_2, . . ., \partial_n)\)はオーソノーマル（正規直交）フレーム、を取ろう、それは可能である、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）上の任意のポイントの周りに、カノニカル（自然）なフレームがオーソノーマル（正規直交）であるチャートがあるという命題によって。以下を定義しよう、つまり、\(V^i := f (\partial_i)\)および\(V := V^i \partial_i\)。\(V' = V'^i \partial_i\)。\(\langle V, V' \rangle = \sum_i V^i V'^i = \sum_i f (\partial_i) V'^i = f (\sum_i V'^i \partial_i) = f (V')\)。したがって、\(U_p\)上には当該条件を満たすそうしたある\(V\)がある。
任意の\(p' \in U_p\)に対して、\(p'\)を包含する別のチャートによる別の\(V\)があると仮定して、以下を満たす\(V'\)、つまり、\(p'\)上で\(V'^i = 1\)および\(j \neq i\)に対して\(V'^j = 0\)、を取って（\(U_p\)上に以下を満たす\(V''\)、つまり、\(V''^i = 1\)および\(j \neq i\)に対して\(V''^j = 0\)、があり、\(M\)上にそうした\(V'\)がある、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）の任意のポイントネイバーフッド（近傍）上の任意の\(C^\infty\)ベクトルたちフィールドに対して、当該マニフォールド（多様体）全体上のある\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）で、当該ポイントのより小さいかもしれないネイバーフッド（近傍）上で元のベクトルたちフィールド（場）に等しいものがあるという命題によって）、\(\langle V, V' \rangle \vert_{p'} = V^i (p') = f (V') (p') = f (\partial_i) (p')\)、したがって、その別\(V\)は前パラグラフ内の\(V\)とインターセクション（共通集合）上で一致する。したがって、\(V\)は\(M\)全体上でウェルデファインド（妥当に定義されている）である。
\(V\)は\(M\)上の任意のポイントの周りでローカルに\(C^\infty\)ベクトルたちフィールド（場）であるので、\(V\)は\(M\)全体で\(C^\infty\)である。
\(V\)はユニークである、なぜなら、それがどのような方法で構成されたにせよ、それは\(U_p\)上で\(V^i = f (\partial_i)\)を満たさなければならない、したがって、その\(V\)は任意の\(U_p\)上で、したがって、\(M\)全体上で、私たちの\(V\)に等しい。
