カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明
話題
About: カテゴリー
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
カテゴリーたちのイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）である。
2: 証明
\(C_1, C_2, C_3\)は以下を満たすカテゴリーたち、つまり、\(C_1\)は\(C_2\)とイクイバレント（同値）であり\(C_2\)は\(C_3\)とイクイバレント（同値）である。
リフレキシビティ（反射性）をチェックしよう。\(C_1\)は\(C_1\)とイクイバレント（道中）であるか？以下のファンクター（関手）たち\(F_{1, 1}: C_1 \rightarrow C_1\)および\(F_{1, 1}: C_1 \rightarrow C_1\)、それが意味するのは、同じ\(F_{1, 1}\)が双方向に使われる、つまり、アイデンティ（恒等）ファンクター（関手）\(1_{C_1}\)、を取ろう。\(F_{1, 1} F_{1, 1}\)と\(1_{C_1}\)の間にナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）があるか？\(F_{1, 1} F_{1, 1} = 1_{C_1}\)。ナチュラルトランスフォーメイション（変換）たち\(\eta: 1_{C_1} \to 1_{C_1}\)および\(\theta: 1_{C_1} \to 1_{C_1}\)として、アイデンティ（恒等）ナチュラルトランスフォーメイション（変換）\(1_{1_{C_1}}\)を取ろう。\(\theta \eta = 1_{1_{C_1}} 1_{1_{C_1}} = 1_{1_{C_1}} = 1_{1_{C_1}} 1_{1_{C_1}} = \eta \theta\)。したがって、\(\eta\)はナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）である。
シンメトリー（対称性）をチェックしよう。\(C_2\)は\(C_1\)とイクイバレント（同値）であるか？以下を満たすファンクター（関手）たち\(F_{1, 2}: C_1 \rightarrow C_2\)および\(F_{2, 1}: C_2 \rightarrow C_1\)、つまり、\(F_{2, 1} F_{1, 2} \cong 1_{C_1}\)および\(F_{1, 2} F_{2, 1} \cong 1_{C_2}\)、がある。したがって、以下を満たすファンクター（関手）たち、\(F_{2, 1}: C_2 \rightarrow C_1\)および\(F_{1, 2}: C_1 \rightarrow C_2\)、つまり、\(F_{1, 2} F_{2, 1} \cong 1_{C_2}\)および\(F_{2, 1} F_{1, 2} \cong 1_{C_1}\)、がある。
トランジティビティ（遷移性）をチェックしよう。\(C_1\)は\(C_3\)とイクイバレント（同値）であるか？以下を満たす\(F_{1, 2}: C_1 \rightarrow C_2\)および\(F_{2, 1}: C_2 \rightarrow C_1\)、つまり、\(F_{2, 1} F_{1, 2} \cong 1_{C_1}\)でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち\(\eta_{1, 2}: F_{2, 1} F_{1, 2} \to 1_{C_1}, \theta_{1, 2}: 1_{C_1} \to F_{2, 1} F_{1, 2}\)を持ち、\(F_{1, 2} F_{2, 1} \cong 1_{C_2}\)でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち\(\eta_{2, 1}: F_{1, 2} F_{2, 1} \to 1_{C_2}, \theta_{2, 1}: 1_{C_2} \to F_{1, 2} F_{2, 1}\)を持つ、がある。以下を満たす\(F_{2, 3}: C_2 \rightarrow C_3\)および\(F_{3, 2}: C_3 \rightarrow C_2\)、つまり、\(F_{3, 2} F_{2, 3} \cong 1_{C_2}\)でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち\(\eta_{2, 3}: F_{3, 2} F_{2, 3} \to 1_{C_2}, \theta_{2, 3}: 1_{C_2} \to F_{3, 2} F_{2, 3}\)を持ち、\(F_{2, 3} F_{3, 2} \cong 1_{C_3}\)でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち\(\eta_{3, 2}: F_{2, 3} F_{3, 2} \to 1_{C_3}, \theta_{3, 2}: 1_{C_3} \to F_{2, 3} F_{3, 2}\)を持つ、がある。
\(F_{1, 3} = F_{2, 3} F_{1, 2}: C_1 \rightarrow C_2 \rightarrow C_3\)および\(F_{3, 1} = F_{2, 1} F_{3, 2}: C_3 \rightarrow C_2 \rightarrow C_1\)を取ろう。
\(F_{3, 1} F_{1, 3} \cong 1_{C_1}\)であるか？以下を満たすナチュラルトランスフォーメイション（変換）たち\(\eta_{1, 3}: F_{3, 1} F_{1, 3} \rightarrow 1_{C_1}\)および\(\theta_{1, 3}: 1_{C_1} \rightarrow F_{3, 1} F_{1, 3}\)、つまり、\(\theta_{1, 3} \eta_{1, 3} = 1_{F_{3, 1} F_{1, 3}}\)および\(\eta_{1, 3} \theta_{1, 3} = 1_{1_{C_1}}\)、があるか？\(\eta_{1, 3, c}:= \eta_{1, 2, c} F_{2, 1} (\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)})\)を定義しよう、それは意味をなす、なぜなら、\(\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)}: F_{3, 2} F_{2, 3} (F_{1, 2} (c)) \rightarrow F_{1, 2} (c)\), \(F_{2, 1} (\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)}): F_{2, 1} F_{3, 2} F_{2, 3} (F_{1, 2} (c)) \rightarrow F_{2, 1} F_{1, 2} (c)\)、そして、\(\eta_{1, 2, c}: F_{2, 1} F_{1, 2} (c) \rightarrow c\)、その一方で、\(\eta_{1, 3, c}: F_{3, 1} F_{1, 3} (c) = F_{2, 1} F_{3, 2} F_{2, 3} F_{1, 2} (c) \rightarrow c\)。\(\eta_{1, 3}\)は本当にナチュラルトランスフォーメイション（変換）であるか？\(C_1\)内の任意のモーフィズム（射）\(\alpha: c \rightarrow c'\)に対して、\(\alpha \eta_{1, 3, c} = \eta_{1, 3, c'} F_{3, 1} F_{1, 3} (\alpha) = \eta_{1, 3, c'} F_{2, 1} F_{3, 2} F_{2, 3} F_{1, 2} (\alpha)\)であるか？左辺側は\(\alpha \eta_{1, 2, c} F_{2, 1} (\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)}) = \eta_{1, 2, c'} F_{2, 1} F_{1, 2} (\alpha) F_{2, 1} (\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)}) = \eta_{1, 2, c'} F_{2, 1} (F_{1, 2} (\alpha) \eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)})\)。右辺側は\(\eta_{1, 2, c'} F_{2, 1} (\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c')}) F_{2, 1} F_{3, 2} F_{2, 3} F_{1, 2} (\alpha) = \eta_{1, 2, c'} F_{2, 1} (\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c')} F_{3, 2} F_{2, 3} F_{1, 2} (\alpha))\)。しかし、\(F_{1, 2} (\alpha) \eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)} = \eta_{2, 3, F_{1, 2} (c')} F_{3, 2} F_{2, 3} F_{1, 2} (\alpha)\)、したがって、両辺は等しい、したがって、\(\eta_{1, 3}\)はナチュラルトランスフォーメイション（変換）である。\(\eta_{1, 3, c}\)はアイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、\(\eta_{2, 3, F_{1, 2} (c)}\)がそうであり、イクイバレンス（同値）ファンクター（関手）\(F_{2, 1}\)はアイソモーフィズム（同形写像）をプリザーブ（維持）する、任意のイクイバレンス（同値）ファンクター（関手）はモニクたち、エピクたち、バイモーフィズムたち、スプリットモニクたち、スプリットエピクたち、アイソモーフィズム（同形写像）たち、コミュータティブ（可換な）ダイアグラム（図式）たちをプリザーブ（維持）しリフレクト（反映）するという命題によって、そして、\(\eta_{1, 2, c}\)がそうである。そこで、\(\eta_{1, 3, c}\)のインバース（逆）\({\eta_{1, 3, c}}^{-1}\)があり、\(\theta_{1, 3, c} = {\eta_{1, 3, c}}^{-1}\)。\(\theta_{1, 3}\)はナチュラルトランスフォーメイション（変換）である、なぜなら、\(\alpha \eta_{1, 3, c} = \eta_{1, 3, c'} F_{3, 1} F_{1, 3} (\alpha)\)から、\(\theta_{1, 3, c'} \alpha \eta_{1, 3, c} \theta_{1, 3, c} = \theta_{1, 3, c'} \eta_{1, 3, c'} F_{3, 1} F_{1, 3} (\alpha) \theta_{1, 3, c}\)、\(\theta_{1, 3, c'} \alpha = F_{3, 1} F_{1, 3} (\alpha) \theta_{1, 3, c}\)。
\(F_{1, 3} F_{3, 1} \cong 1_{C_3}\)であるか？はい: シンメトリー（対称性）によって、\(C_3\)は\(C_2\)とイクイバレント（同値）であり\(C_2\)は\(C_1\)と同値であり、前パラグラフの対称的な議論がここで使える。
