381: カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）である

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カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）であることの記述/証明

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話題

About: カテゴリー

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カテゴリーたちのイクイバレンス（同値）の定義を知っている。
• 読者は、イクイバレンスリレーション（同値関係）の定義を知っている。
• 読者は、任意のイクイバレンス（同値）ファンクター（関手）はモニクたち、エピクたち、バイモーフィズムたち、スプリットモニクたち、スプリットエピクたち、アイソモーフィズム（同形写像）たち、コミュータティブ（可換な）ダイアグラム（図式）たちをプリザーブ（維持）しリフレクト（反映）するという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、カテゴリーたちイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

カテゴリーたちのイクイバレンス（同値）はイクイバレンスリレーション（同値関係）である。

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2: 証明

$C_1,C_2,C_3$は以下を満たすカテゴリーたち、つまり、$C_1$は$C_2$とイクイバレント（同値）であり$C_2$は$C_3$とイクイバレント（同値）である。

リフレキシビティ（反射性）をチェックしよう。$C_1$は$C_1$とイクイバレント（道中）であるか？以下のファンクター（関手）たち$F_{1,1}:C_1\to C_1$および$F_{1,1}:C_1\to C_1$、それが意味するのは、同じ$F_{1,1}$が双方向に使われる、つまり、アイデンティ（恒等）ファンクター（関手）$1_{C_1}$、を取ろう。$F_{1,1}{F}_{1,1}$と$1_{C_1}$の間にナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）があるか？$F_{1,1}{F}_{1,1}=1_{C_1}$。ナチュラルトランスフォーメイション（変換）たち$\eta :1_{C_1}\to 1_{C_1}$および$\theta :1_{C_1}\to 1_{C_1}$として、アイデンティ（恒等）ナチュラルトランスフォーメイション（変換）$1_{1_{C_1}}$を取ろう。$\theta \eta =1_{1_{C_1}}{1}_{1_{C_1}}=1_{1_{C_1}}=1_{1_{C_1}}{1}_{1_{C_1}}=\eta \theta$。したがって、$\eta$はナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）である。

シンメトリー（対称性）をチェックしよう。$C_2$は$C_1$とイクイバレント（同値）であるか？以下を満たすファンクター（関手）たち$F_{1,2}:C_1\to C_2$および$F_{2,1}:C_2\to C_1$、つまり、$F_{2,1}{F}_{1,2}\cong 1_{C_1}$および$F_{1,2}{F}_{2,1}\cong 1_{C_2}$、がある。したがって、以下を満たすファンクター（関手）たち、$F_{2,1}:C_2\to C_1$および$F_{1,2}:C_1\to C_2$、つまり、$F_{1,2}{F}_{2,1}\cong 1_{C_2}$および$F_{2,1}{F}_{1,2}\cong 1_{C_1}$、がある。

トランジティビティ（遷移性）をチェックしよう。$C_1$は$C_3$とイクイバレント（同値）であるか？以下を満たす$F_{1,2}:C_1\to C_2$および$F_{2,1}:C_2\to C_1$、つまり、$F_{2,1}{F}_{1,2}\cong 1_{C_1}$でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち${\eta }_{1,2}:F_{2,1}{F}_{1,2}\to 1_{C_1},{\theta }_{1,2}:1_{C_1}\to F_{2,1}{F}_{1,2}$を持ち、$F_{1,2}{F}_{2,1}\cong 1_{C_2}$でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち${\eta }_{2,1}:F_{1,2}{F}_{2,1}\to 1_{C_2},{\theta }_{2,1}:1_{C_2}\to F_{1,2}{F}_{2,1}$を持つ、がある。以下を満たす$F_{2,3}:C_2\to C_3$および$F_{3,2}:C_3\to C_2$、つまり、$F_{3,2}{F}_{2,3}\cong 1_{C_2}$でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち${\eta }_{2,3}:F_{3,2}{F}_{2,3}\to 1_{C_2},{\theta }_{2,3}:1_{C_2}\to F_{3,2}{F}_{2,3}$を持ち、$F_{2,3}{F}_{3,2}\cong 1_{C_3}$でナチュラルアイソモーフィズム（同形写像）たち${\eta }_{3,2}:F_{2,3}{F}_{3,2}\to 1_{C_3},{\theta }_{3,2}:1_{C_3}\to F_{2,3}{F}_{3,2}$を持つ、がある。

$F_{1,3}=F_{2,3}{F}_{1,2}:C_1\to C_2\to C_3$および$F_{3,1}=F_{2,1}{F}_{3,2}:C_3\to C_2\to C_1$を取ろう。

$F_{3,1}{F}_{1,3}\cong 1_{C_1}$であるか？以下を満たすナチュラルトランスフォーメイション（変換）たち${\eta }_{1,3}:F_{3,1}{F}_{1,3}\to 1_{C_1}$および${\theta }_{1,3}:1_{C_1}\to F_{3,1}{F}_{1,3}$、つまり、${\theta }_{1,3}{\eta }_{1,3}=1_{F_{3,1}{F}_{1,3}}$および${\eta }_{1,3}{\theta }_{1,3}=1_{1_{C_1}}$、があるか？${\eta }_{1,3,c}:={\eta }_{1,2,c}{F}_{2,1}({\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)})$を定義しよう、それは意味をなす、なぜなら、${\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)}:F_{3,2}{F}_{2,3}(F_{1,2}(c))\to F_{1,2}(c)$, $F_{2,1}({\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)}):F_{2,1}{F}_{3,2}{F}_{2,3}(F_{1,2}(c))\to F_{2,1}{F}_{1,2}(c)$、そして、${\eta }_{1,2,c}:F_{2,1}{F}_{1,2}(c)\to c$、その一方で、${\eta }_{1,3,c}:F_{3,1}{F}_{1,3}(c)=F_{2,1}{F}_{3,2}{F}_{2,3}{F}_{1,2}(c)\to c$。${\eta }_{1,3}$は本当にナチュラルトランスフォーメイション（変換）であるか？$C_1$内の任意のモーフィズム（射）$\alpha :c\to c^{\prime }$に対して、$\alpha {\eta }_{1,3,c}={\eta }_{1,3,c^{\prime }}{F}_{3,1}{F}_{1,3}(\alpha )={\eta }_{1,3,c^{\prime }}{F}_{2,1}{F}_{3,2}{F}_{2,3}{F}_{1,2}(\alpha )$であるか？左辺側は$\alpha {\eta }_{1,2,c}{F}_{2,1}({\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)})={\eta }_{1,2,c^{\prime }}{F}_{2,1}{F}_{1,2}(\alpha )F_{2,1}({\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)})={\eta }_{1,2,c^{\prime }}{F}_{2,1}(F_{1,2}(\alpha ){\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)})$。右辺側は${\eta }_{1,2,c^{\prime }}{F}_{2,1}({\eta }_{2,3,F_{1,2}(c^{\prime })})F_{2,1}{F}_{3,2}{F}_{2,3}{F}_{1,2}(\alpha )={\eta }_{1,2,c^{\prime }}{F}_{2,1}({\eta }_{2,3,F_{1,2}(c^{\prime })}{F}_{3,2}{F}_{2,3}{F}_{1,2}(\alpha ))$。しかし、$F_{1,2}(\alpha ){\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)}={\eta }_{2,3,F_{1,2}(c^{\prime })}{F}_{3,2}{F}_{2,3}{F}_{1,2}(\alpha )$、したがって、両辺は等しい、したがって、${\eta }_{1,3}$はナチュラルトランスフォーメイション（変換）である。${\eta }_{1,3,c}$はアイソモーフィズム（同形写像）である、なぜなら、${\eta }_{2,3,F_{1,2}(c)}$がそうであり、イクイバレンス（同値）ファンクター（関手）$F_{2,1}$はアイソモーフィズム（同形写像）をプリザーブ（維持）する、任意のイクイバレンス（同値）ファンクター（関手）はモニクたち、エピクたち、バイモーフィズムたち、スプリットモニクたち、スプリットエピクたち、アイソモーフィズム（同形写像）たち、コミュータティブ（可換な）ダイアグラム（図式）たちをプリザーブ（維持）しリフレクト（反映）するという命題によって、そして、${\eta }_{1,2,c}$がそうである。そこで、${\eta }_{1,3,c}$のインバース（逆）${{\eta }_{1,3,c}}^{-1}$があり、${\theta }_{1,3,c}={{\eta }_{1,3,c}}^{-1}$。${\theta }_{1,3}$はナチュラルトランスフォーメイション（変換）である、なぜなら、$\alpha {\eta }_{1,3,c}={\eta }_{1,3,c^{\prime }}{F}_{3,1}{F}_{1,3}(\alpha )$から、${\theta }_{1,3,c^{\prime }}\alpha {\eta }_{1,3,c}{\theta }_{1,3,c}={\theta }_{1,3,c^{\prime }}{\eta }_{1,3,c^{\prime }}{F}_{3,1}{F}_{1,3}(\alpha ){\theta }_{1,3,c}$、${\theta }_{1,3,c^{\prime }}\alpha =F_{3,1}{F}_{1,3}(\alpha ){\theta }_{1,3,c}$。

$F_{1,3}{F}_{3,1}\cong 1_{C_3}$であるか？はい: シンメトリー（対称性）によって、$C_3$は$C_2$とイクイバレント（同値）であり$C_2$は$C_1$と同値であり、前パラグラフの対称的な議論がここで使える。

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参考資料

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