クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、オープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、サチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）に対して、任意のオープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のクウォシェント（商）マップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)、オープン（開）またはクローズド（閉）な\(f\)に関しての任意のサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)に対して、リストリクション（制限）\(f\vert_S \rightarrow f (S)\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である。
2: 証明
\(f\vert_S\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。\(f\vert_S\)はサージェクティブ（全射である。
任意のサブセット（部分集合）\(S' \subseteq f (S)\)に対して、\((f\vert_S)^{-1} (S') = f^{-1} (S') \cap S\)、なぜなら、任意のポイント\(p \in (f\vert_S)^{-1} (S')\)に対して、\(f\vert_S (p) = f (p) \in S'\)および\(p \in S\)。任意のポイント\(p \in f^{-1} (S') \cap S\)に対して、\(f (p) = f\vert_S (p) \in S'\)。\(S' \subseteq f (S)\), \(f^{-1} (S') \subseteq f^{-1} f (S) = S\)、ここで、最後のイクエイジョン（等式）はサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義による。したがって、\(f^{-1} (S') \cap S = f^{-1} (S')\)。
\(S\)はオープン（開）であると仮定しよう。以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S' \subseteq f (S)\)、つまり、\((f\vert_S)^{-1} (S')\)は\(S\)上でオープン（開）である、に対して、\(S'\)は\(f (S)\)上でオープン（開）であるか？\((f\vert_S)^{-1} (S') = f^{-1} (S')\)は\(S\)上でオープン（開）であり、\(T_1\)上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。したがって、\(S'\)は\(T_2\)上でオープン（開）である、なぜなら、\(f\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である。\(S' = S' \cap f (S)\)は\(f (S)\)上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(S\)はクローズド（閉）であると仮定しよう。以下を満たす任意のサブセット（部分集合）\(S' \subseteq f (S)\)、つまり、\((f\vert_S)^{-1} (S')\)は\(S\)上でクローズド（閉）である、に対して、\(S'\)は\(f (S)\)上でクローズド（閉）であるか？\((f\vert_S)^{-1} (S') = f^{-1} (S')\)は\(S\)上でクローズド（閉）であり、\(T_1\)上でクローズド（閉）である、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。したがって、\(S'\)は\(T_2\)上でクローズド（閉）である、任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(S' = S' \cap f (S)\)は\(f (S)\)上でクローズド（閉）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、という命題によって、\(f\vert_S\)はクウォシェント（商）マップ（写像）である。
