380: クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、オープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）である

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クウォシェント（商）マップ（写像）に対して、オープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、クウォシェント（商）マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、サチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
• 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、という命題を認めている。
• 読者は、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のクウォシェント（商）マップ（写像）に対して、任意のオープン（開）またはクローズド（閉）サチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）についておよびリストリクテッド（制限された）イメージ（像）コドメイン（余域）についてのそのリストリクション（制限）はクウォシェント（商）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のクウォシェント（商）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、オープン（開）またはクローズド（閉）な$f$に関しての任意のサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）$S\subseteq T_1$に対して、リストリクション（制限）$f{|}_S\to f(S)$はクウォシェント（商）マップ（写像）である。

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2: 証明

$f{|}_S$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって。$f{|}_S$はサージェクティブ（全射である。

任意のサブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq f(S)$に対して、$(f{|}_S{)}^{-1}(S^{\prime })=f^{-1}(S^{\prime })\cap S$、なぜなら、任意のポイント$p\in (f{|}_S{)}^{-1}(S^{\prime })$に対して、$f{|}_S(p)=f(p)\in S^{\prime }$および$p\in S$。任意のポイント$p\in f^{-1}(S^{\prime })\cap S$に対して、$f(p)=f{|}_S(p)\in S^{\prime }$。$S^{\prime }\subseteq f(S)$, $f^{-1}(S^{\prime })\subseteq f^{-1}f(S)=S$、ここで、最後のイクエイジョン（等式）はサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義による。したがって、$f^{-1}(S^{\prime })\cap S=f^{-1}(S^{\prime })$。

$S$はオープン（開）であると仮定しよう。以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq f(S)$、つまり、$(f{|}_S{)}^{-1}(S^{\prime })$は$S$上でオープン（開）である、に対して、$S^{\prime }$は$f(S)$上でオープン（開）であるか？$(f{|}_S{)}^{-1}(S^{\prime })=f^{-1}(S^{\prime })$は$S$上でオープン（開）であり、$T_1$上でオープン（開）である、任意のオープン（開）トポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のオープンセット（開集合）はベーススペース（空間）上でオープン（開）であるという命題によって。したがって、$S^{\prime }$は$T_2$上でオープン（開）である、なぜなら、$f$はクウォシェント（商）マップ（写像）である。$S^{\prime }=S^{\prime }\cap f(S)$は$f(S)$上でオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。

$S$はクローズド（閉）であると仮定しよう。以下を満たす任意のサブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq f(S)$、つまり、$(f{|}_S{)}^{-1}(S^{\prime })$は$S$上でクローズド（閉）である、に対して、$S^{\prime }$は$f(S)$上でクローズド（閉）であるか？$(f{|}_S{)}^{-1}(S^{\prime })=f^{-1}(S^{\prime })$は$S$上でクローズド（閉）であり、$T_1$上でクローズド（閉）である、任意のクローズド（閉）トポロジカルスペース（空間）上の任意のクローズドセット（閉集合）はベーススペース（空間）上でクローズド（閉）であるという命題によって。したがって、$S^{\prime }$は$T_2$上でクローズド（閉）である、任意のクオシエント（商）トポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、サブセット（部分集合）のクオシエント（商）マップ（写像）下のプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。$S^{\prime }=S^{\prime }\cap f(S)$は$f(S)$上でクローズド（閉）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のコンティニュアス（連続）サージェクション（全射）はクウォシェント（商）マップ（写像）である、もしも、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）はそのプリイメージ（前像）がクローズド（閉）である場合クローズド（閉）である場合、という命題によって、$f{|}_S$はクウォシェント（商）マップ（写像）である。

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参考資料

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