382: サージェクション（全射）下のプリイメージ（前像）はサージェクション（全射）に関してサチュレイテッド（飽和した）である

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サージェクション（全射）下のプリイメージ（前像）はサージェクション（全射）に関してサチュレイテッド（飽和した）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）に関してサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のマップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限ってという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のサージェクション（全射）に対して、任意のコドメイン（余域）サブセット（部分集合）のプリイメージ（前像）は当該サージェクション（全射）に関してサチュレイテッド（飽和した）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2$、任意のサージェクション（全射）$f:S_1\to S_2$、任意のサブセット（部分集合）$S_3\subseteq S_2$に対して、プリイメージ（前像）$f^{-1}(S_3)$は$f$に関してサチュレイテッド（飽和した）である、それが意味するのは、$f^{-1}\circ f(f^{-1}(S_3))=f^{-1}(S_3)$。

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2: 証明

$f(f^{-1}(S_3))=S_3$、なぜなら、$f$はサージェクション（全射である、任意のマップ（写像）に対して、任意のプリイメージ（前像）後のマップ（写像）コンポジション（合成）はアイデンティカル（恒等）である、もしも、引数セット（集合）がマップ（写像）イメージ（像）のサブセット（部分集合）である場合、そしてその場合に限ってという命題によって。したがって、$f^{-1}\circ f(f^{-1}(S_3))=f^{-1}(S_3)$。

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参考資料

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