399: 'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことはバリュー（値）たちベクトルをインディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しい

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'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことはバリュー（値）たちベクトルをインディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しいことの記述/証明

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルのライン（直線）へのプロジェクション（射影）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことは、${\mathbb{R}}^n$空間内にて当該バリュー（値）たちベクトルを当該インディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しいという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータ$(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_n,y_n)$に対して、オリジン（原点）を通過する以下を満たす近似ライン（直線）$y=sx$、つまり、バリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計$S:=\sum _i(y_i-s{x}_i{)}^2$が最小である、を選ぶことは、${\mathbb{R}}^n$スペース（空間）内にて当該バリュー（値）たちベクトル$(y_1,y_2,...,y_n)$を当該インディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）$t(x_1,x_2,...,x_n)$へプロジェクト（射影）することに等しい、それが意味することは、$s$は当該プロジェクション（射影）の長さに等しいということ。

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2: 証明

$s$を決定しよう。$\frac{dS}{ds}=0$を取ろう。$\frac{dS}{ds}=\sum _i(-2(y_i-s{x}_i)x_i)=0$。$\sum _i(y_i{x}_i)=s\sum _i{x}_i^2$。$s=(\sum _i(y_i{x}_i))(\sum _i{x}_i^2{)}^{-1}$。

当該プロジェクション（射影）を取ろう。$(x_1,x_2,...,x_n)$と$(y_1,y_2,...,y_n)$のインナープロダクト（直積）は$\sum _i(y_i{x}_i)=(\sum _i{x}_i^2{)}^{2^{-1}}(\sum _i{y}_i^2{)}^{2^{-1}}cos\theta$、ここで、$\theta$は当該ベクトルたち間の角度、そして、当該プロジェクション（射影）の長さは$l=(\sum _i{y}_i^2{)}^{2^{-1}}cos\theta =(\sum _i{y}_i^2{)}^{2^{-1}}\sum _i(y_i{x}_i)((\sum _i{x}_i^2{)}^{2^{-1}}{)}^{-1}((\sum _i{y}_i^2{)}^{2^{-1}}{)}^{-1}=\sum _i(y_i{x}_i)((\sum _i{x}_i^2{)}^{2^{-1}}{)}^{-1}$である。

したがって、$l=s$、それが、本命題が意味していることである。

当該プロジェクション（射影）は、$(\sum _i(y_i{x}_i))((\sum _i{x}_i^2{)}^{2^{-1}}{)}^{-1}((\sum _i{x}_i^2{)}^{2^{-1}}{)}^{-1}(x_1,x_2,...,x_n)=(\sum _i(y_i{x}_i))((\sum _i{x}_i^2{)}^{2^{-1}}{)}^{-2}(x_1,x_2,...,x_n)=(\sum _i(y_i{x}_i))(\sum _i{x}_i^2{)}^{-1}(x_1,x_2,...,x_n)$である。

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参考資料

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