'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことはバリュー（値）たちベクトルをインディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しいことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルのライン（直線）へのプロジェクション（射影）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータに対して、オリジン（原点）を通過する近似ライン（直線）でバリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計最小を持つものを選ぶことは、\(\mathbb{R}^n\)空間内にて当該バリュー（値）たちベクトルを当該インディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）へプロジェクト（射影）することに等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の'インディペンデントバリアブル（独立変数）'-バリュー（値）ペアたちデータ\((x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_n, y_n)\)に対して、オリジン（原点）を通過する以下を満たす近似ライン（直線）\(y = s x\)、つまり、バリュー（値）差異スクウェア（2乗）たち計\(S := \sum_{i} (y_i - s x_i)^2\)が最小である、を選ぶことは、\(\mathbb{R}^n\)スペース（空間）内にて当該バリュー（値）たちベクトル\((y_1, y_2, ..., y_n)\)を当該インディペンデントバリアブル（独立変数）たちベクトルライン（直線）\(t (x_1, x_2, ..., x_n)\)へプロジェクト（射影）することに等しい、それが意味することは、\(s\)は当該プロジェクション（射影）の長さに等しいということ。
2: 証明
\(s\)を決定しよう。\(\frac{d S}{d s} = 0\)を取ろう。\(\frac{d S}{d s} = \sum_{i} (- 2 (y_i - s x_i) x_i) = 0\)。\(\sum_{i} (y_i x_i) = s \sum_{i} x_i^2\)。\(s = (\sum_{i} (y_i x_i)) (\sum_{i} x_i^2)^{-1}\)。
当該プロジェクション（射影）を取ろう。\((x_1, x_2, ..., x_n)\)と\((y_1, y_2, ..., y_n)\)のインナープロダクト（直積）は\(\sum_{i} (y_i x_i) = (\sum_{i} x_i^2)^{2^{-1}} (\sum_{i} y_i^2)^{2^{-1}} cos \theta\)、ここで、\(\theta\)は当該ベクトルたち間の角度、そして、当該プロジェクション（射影）の長さは\(l = (\sum_{i} y_i^2)^{2^{-1}} cos \theta = (\sum_{i} y_i^2)^{2^{-1}} \sum_{i} (y_i x_i) ((\sum_{i} x_i^2)^{2^{-1}})^{-1} ((\sum_{i} y_i^2)^{2^{-1}})^{-1} = \sum_{i} (y_i x_i) ((\sum_{i} x_i^2)^{2^{-1}})^{-1}\)である。
したがって、\(l = s\)、それが、本命題が意味していることである。
当該プロジェクション（射影）は、\((\sum_{i} (y_i x_i)) ((\sum_{i} x_i^2)^{2^{-1}})^{-1} ((\sum_{i} x_i^2)^{2^{-1}})^{-1} (x_1, x_2, ..., x_n) = (\sum_{i} (y_i x_i)) ((\sum_{i} x_i^2)^{2^{-1}})^{-2} (x_1, x_2, ..., x_n) = (\sum_{i} (y_i x_i)) (\sum_{i} x_i^2)^{-1} (x_1, x_2, ..., x_n)\)である。
