400: コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）である

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コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明

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話題

About: メトリックスペース（計量付き空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
• 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）$T_1$に対して、任意のクローズドサブスペース（閉部分空間）$T_2\subseteq T_1$はコンプリート（完備）である。

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2: 証明

$p_1,p_2,...,$、ここで、$p_i\in T_2$、を$T_2$上の任意のコーシーシーケンス（列）であるとしよう。それは$T_1$上であるポイント$p\in T_1$へコンバージ（収束）する。$p\notin T_2$であると仮定しよう。$p\in T_1\setminus T_2$、ここで、$T_1\setminus T_2$は$T_1$上でオープン（開）、である。$p$の周りにあるオープンボール（開球）$B_{p-ϵ}\subseteq T_1\setminus T_2$があり、各$i$に対して$p_i\notin B_{p-ϵ}$、それは、$p$が当該シーケンス（列）のコンバージェントポイント（収束点）であることに反する矛盾である。したがって、$p\in T_2$。当該シーケンス（列）は$T_2$上で$p$へコンバージ（収束）する、なぜなら、任意のオープンボール（開球）$B_{p-ϵ}^{\prime }\subseteq T_2$に対して、$B_{p-ϵ}^{\prime }=B_{p-ϵ}\cap T_2$、そして、以下を満たすある$i_0$、つまり、$i_0<i$を満たす任意の$i$に対して、$p_i\in B_{p-ϵ}\cap T_2=B_{p-ϵ}^{\prime }$、がある。

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参考資料

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