コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、クローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であることの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、クローズドセット（閉集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）に対して、任意のクローズド（閉）サブスペース（部分空間）はコンプリート（完備）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコンプリート（完備）メトリックスペース（計量付き空間）\(T_1\)に対して、任意のクローズドサブスペース（閉部分空間）\(T_2 \subseteq T_1\)はコンプリート（完備）である。
2: 証明
\(p_1, p_2, ..., \)、ここで、\(p_i \in T_2\)、を\(T_2\)上の任意のコーシーシーケンス（列）であるとしよう。それは\(T_1\)上であるポイント\(p \in T_1\)へコンバージ（収束）する。\(p \notin T_2\)であると仮定しよう。\(p \in T_1 \setminus T_2\)、ここで、\(T_1 \setminus T_2\)は\(T_1\)上でオープン（開）、である。\(p\)の周りにあるオープンボール（開球）\(B_{p-\epsilon} \subseteq T_1 \setminus T_2\)があり、各\(i\)に対して\(p_i \notin B_{p-\epsilon}\)、それは、\(p\)が当該シーケンス（列）のコンバージェントポイント（収束点）であることに反する矛盾である。したがって、\(p \in T_2\)。当該シーケンス（列）は\(T_2\)上で\(p\)へコンバージ（収束）する、なぜなら、任意のオープンボール（開球）\(B'_{p-\epsilon} \subseteq T_2\)に対して、\(B'_{p-\epsilon} = B_{p-\epsilon} \cap T_2\)、そして、以下を満たすある\(i_0\)、つまり、\(i_0 \lt i\)を満たす任意の\(i\)に対して、\(p_i \in B_{p-\epsilon} \cap T_2 = B'_{p-\epsilon}\)、がある。
