398: トポロジカルスペース（空間）間プロパーマップ（写像）のサチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）およびレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はプロパーである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

トポロジカルスペース（空間）間プロパーマップ（写像）のサチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）およびレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はプロパーであることの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、マップ（写像）に関するサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
• 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のプロパーマップ（写像）の、当該マップ（写像）に関する任意のドメイン（定義域）サチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）および当該レンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は、プロパーであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のコンティニュアス（連続）ではないかもしれないプロパーマップ（写像）$f:T_1\to T_2$、$f$に関する任意のサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）$S\subseteq T_1$に対して、リストリクション（制限）$(f{|}_S{)}^{\prime }:S\to f(S)$、ここで、$(f{|}_S{)}^{\prime }$がプライム符号付きで記されているのは、単なる$f{|}_S$は$T_2$の中へのものであって、$f(S)$の中へのものではないため、はプロパーである。

---

2: 証明

$S^{\prime }\subseteq f(S)$は$f(S)$上でコンパクトであるとしよう。$S^{\prime }$は$T_2$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。$(f{|}_S{)}^{\prime -1}(S^{\prime })=f^{-1}(S^{\prime })$、なぜなら、$f^{-1}f(S)=S$であるから、$f^{-1}(S^{\prime })\subseteq S$。$f^{-1}(S^{\prime })$は$T_1$上でコンパクトである、$f$はプロパーであるから。$(f{|}_S{)}^{\prime -1}(S^{\prime })=f^{-1}(S^{\prime })$は$S$上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>