トポロジカルスペース（空間）間プロパーマップ（写像）のサチュレイテッド（飽和した）ドメイン（定義域）サブセット（部分集合）およびレンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はプロパーであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、マップ（写像）に関するサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、プロパーマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間の任意のプロパーマップ（写像）の、当該マップ（写像）に関する任意のドメイン（定義域）サチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）および当該レンジ（値域）コドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）は、プロパーであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のコンティニュアス（連続）ではないかもしれないプロパーマップ（写像）\(f: T_1 \rightarrow T_2\)、\(f\)に関する任意のサチュレイテッド（飽和した）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T_1\)に対して、リストリクション（制限）\((f\vert_S)': S \rightarrow f (S)\)、ここで、\((f\vert_S)'\)がプライム符号付きで記されているのは、単なる\(f\vert_S\)は\(T_2\)の中へのものであって、\(f (S)\)の中へのものではないため、はプロパーである。
2: 証明
\(S' \subseteq f (S)\)は\(f (S)\)上でコンパクトであるとしよう。\(S'\)は\(T_2\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）の任意のコンパクトサブセット（部分集合）はベーススペース（空間）上でコンパクトであるという命題によって。\((f\vert_S)'^{-1} (S') = f^{-1} (S')\)、なぜなら、\(f^{-1} f (S) = S\)であるから、\(f^{-1} (S') \subseteq S\)。\(f^{-1} (S')\)は\(T_1\)上でコンパクトである、\(f\)はプロパーであるから。\((f\vert_S)'^{-1} (S') = f^{-1} (S')\)は\(S\)上でコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブスペース（部分空間）サブセット（部分集合）でベーススペース（空間）でコンパクトであるものは当該サブスペース（部分空間）でコンパクトであるという命題によって。
