トポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）が\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）のコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall S \in \{T \text{ の全てのインフィニット（無限）サブセット（部分集合）たち }\} (\exists t \in \{S \text{ の全ての } \omega \text{ -アキューミュレーションポイント（集積点）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(S\)はある\(t\)を持つと仮定する; ステップ2: \(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであることを見る; ステップ3: \(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであると仮定する; ステップ4: 各\(S\)はある\(t\)を持つことを見る。
ステップ1:
各\(S\)はある\(t\)を持つと仮定しよう。
ステップ2:
\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトではなかったと仮定しよう。
\(T\)のあるカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）\(\{U_j \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、で、ファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持たないものがあることになる。
当該オープンカバー（開被覆）は、不可避にインフィニット（無限）であることになる、なぜなら、そうでなければ、それは、それ自体というファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持つことになる。
各\(j \in J\)に対して、\(U_j \neq \emptyset\)であったと仮定しよう、それは可能であることになる、なぜなら、任意の空集合は除くことができて、残った全ての要素たちのインデックスを付け替えることができ、\(T\)をカバーしたままになり（全ての空集合たちを除くことは、カバーすることに影響しない）、インフィニット（無限）にカウンタブル（可算）であるままになり（そうでなければ、残った要素たちのセット（集合）はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）になる）、ファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持たないままになる（もしも、残った要素たちのセット（集合）があるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持っていたら、それは、元のカバー（被覆）のあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）であることになる）。
\(J = \{1, 2, ...\}\)であると仮定しよう、一般性を失うことなく、表現たちの便利性のためだけに。
あるポイント\(t_1 \in U_1\)があることになり、\(j_1 := 1\)および\(U'_1 := U_1\)を定義しよう。
以下を満たすあるポイント\(t_2 \in T\)、つまり、\(t_2 \notin U'_1\)、があることになる、なぜなら、\(U'_1\)は\(T\)をカバーしなかった、したがって、\(t_2 \in U_{j_2}\)、\(j_1 \lt j_2\)を満たすある\(j_2 \in J\)に対して、そして、\(U'_2 := \cup_{1 \le j \le j_2} U_j\)を定義しよう。
注意として、\(2 \le j_2\)および\(U_2 \subseteq U'_2\)。
以下を満たすあるポイント\(t_3 \in T\)、つまり、\(t_3 \notin U'_2\)、があることになる、したがって、\(t_3 \in U_{j_3}\)、\(j_2 \lt j_3\)を満たすある\(j_3 \in J\)に対して、そして、\(U'_3 := \cup_{1 \le j \le j_3} U_j\)を定義しよう。
注意として、\(3 \le j_3\)および\(U_3 \subseteq U'_3\)。
等々と続く、それはインフィニット（無限）に続くことになる、なぜなら、\(\{U_j \vert j \in J\}\)のファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）はない。
注意として、各\(l \in J\)に対して、\(l \le j_l\)および\(U_l \subseteq U'_l\)。
\(\{U'_j \vert j \in J\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）であることになる、なぜなら、各\(t \in T\)に対して、\(t \in U_j \subseteq U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して。
\(S = \{t_1, t_2, ...\}\)を選び、\(t\)を\(S\)のある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）としよう。
\(t \in U'_j\)、ある\(j \in J\)に対して、したがって、\(U'_j\)は\(t\)のあるオープンネイバーフッド（開近傍）であることになる。
しかし、\(U'_j \cap S = \{t_1, t_2, ..., t_j\}\)、\(t\)は\(S\)のある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）であったことに反する矛盾。
したがって、\(T\)のカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）でファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持たないものはない、それが意味するのは、\(T\)の各カウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）はあるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）を持つということ。
したがって、\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである。
ステップ3:
\(T\)はカウンタブル（可算）のコンパクトであると仮定しよう。
ステップ4:
あるインフィニット（無限）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)で\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないものがあったと仮定しよう。
任意のカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）\(S^` \subseteq S\)も\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないことになる、なぜなら、各ポイント\(t \in T\)に対して、\(t\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \cap S\)は何らかファイナイト（有限）ポイントたちのみを持つ、があることになる、そして、\(U_t \cap S^`\)も何らかファイナイト（有限）ポイントたちのみを持つことになる、なぜなら、\(S^`\)は\(S\)より小さい。
各ファイナイト（有限）（空でもよい）\(S^{``} \subseteq S^`\)に対して、\(f (S^{``}) := \cup \{U \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \vert U \cap S^` = S^{``}\}\)を定義しよう、それはある\(S^{``}\)に対して、空であるかもしれないが、それは問題ではない。
\(\{f (S^{``}) \vert S^{``} \subseteq S^`\}\)は\(T\)のあるオープンカバー（開被覆）であることになる、なぜなら、\(S^`\)は\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないから、各ポイント\(t \in T\)は\(t\)の以下を満たす少なくとも1個のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)、つまり、\(U_t \cap S^`\)はファイナイト（有限）ポイントたちのみを持つ、を持つことになる、したがって、\(S^{``} := U_t \cap S^`\)に対して、\(t \in U_t \subseteq f (S^{``})\)。
\(\{f (S^{``}) \vert S^{``} \subseteq S^`\}\)は\(T\)のあるカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）であることになる、なぜなら、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）の全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）はカウンタブル（可算）である: 任意のカウンタブル（可算）セット（集合）\(S^` = \{1, 2, ...\}\)に対して、全てのファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちを以下の順序で選ぶ: 第1に、\(\emptyset\)を取る; 第2に、\(\{1\}\)を取り、\(\{1\}\)を選ぶ; 第3に、\(\{1, 2\}\)を取り、\(\{2\}\)および\(\{1, 2\}\)を選ぶ; 第4に、\(\{1, 2, 3\}\)を取り、\(\{3\}\)、\(\{1, 3\}\)、\(\{2, 3\}\)、\(\{1, 2, 3\}\)を選ぶ、等々と続く、例えば。
あるファイナイト（有限）サブカバー（部分被覆）\(\{f (S^{``}_j) \vert j \in J\}\)、ここで、\(J\)はあるファイナイト（有限）インデックスセット（集合）、があることになる、なぜなら、\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであった。
あるポイント\(t \in S^` \setminus \cup_{j \in J} S^{``}_j\)があることになる、なぜなら、\(S^`\)はインフィニット（無限）である一方、\(\cup_{j \in J} S^{``}_j\)はファイナイト（有限）である。
しかし、\(t \notin f (S^{``}_j)\)、各\(j \in J\)に対して、なぜなら、\(f (S^{``}_j) \cap S^` = \cup \{U \in \{\text{ the open subsets of } T\} \vert U \cap S^` = S^{``}_j\} \cap S^` = \cup \{U \cap S^` \vert U \in \{\text{ the open subsets of } T\} \text{ such that } U \cap S^` = S^{``}_j\}\)、任意のセット（集合）に対して、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数の任意のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）と任意のサブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）たちの各々と後者サブセット（部分集合）のインターセクション（共通集合）たちのユニオン（和集合）であるという命題によって、\(= \cup \{S^{``}_j \vert U \in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } U \cap S^` = S^{``}_j\} = S^{``}_j\)、\(\{f (S^{``}_j) \vert j \in J\}\)が\(T\)のあるカバーであったことに反する矛盾。
したがって、インフィニット（無限）サブセット（部分集合）で\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないものはない、したがって、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）はある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ。
