390: トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）が\omegaアキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って

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トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）が$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、カウンタブリー（可算に）コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）$S$がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）$p\in T$を持っている場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

各$S$はある$p$を持っていると仮定しよう。$T$のあるオープン（開）カウンタブル（可算）カバー$O=\{U_i|i\in I\}$、ここで、$I$はあるカウンタブル（可算）インデックスたちセット（集合）、でファイナイト（有限）サブカバーを持たないものがあったと仮定しよう。$U_i\ne \mathrm{\varnothing }$であると仮定しよう、なぜなら、任意の空集合を除去して要素たちをインデックス付け直しできるから。$I=\{1,2,...\}$だと仮定しよう、一般性を失うことなく。あるポイント$p_1\in U_1$があることになり、$i_1:=1$および$U_1^{\prime }:=U_1$を定義しよう。あるポイント$p_2\notin U_1^{\prime }$があることになる、したがって、ある$i_1<i_2\in I$に対して、$p_2\in U_{i_2}$、そして、$U_2^{\prime }:={\cup }_{1\le i\le i_2}{U}_i$を定義しよう。あるポイント$p_3\notin U_2^{\prime }$があることになり、したがって、ある$i_2<i_3\in I$に対して、$p_3\in U_{i_3}$、等々と続く、それは無限に続くことになる、なぜなら、$O$のファイナイト（有限）サブカバーはないことになる。$O^{\prime }:=\{U_i^{\prime }|i\in I\}$は$T$のオープンカバー（開被覆）であることになる。$S=\{p_1,p_2,...\}$を選択し、$p$を$S$のある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）であるとしよう。ある$j\in I$に対して、$p\in U_j^{\prime }$、なぜなら、$O^{\prime }$は$T$のカバーであることになる。しかし、$U_j^{\prime }$は$p$のネイバーフッド（近傍）であることになる一方、$U_j^{\prime }\cap S=\{p_1,p_2,...,p_j\}$、それは、$p$が$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）であることに反する矛盾である。

$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトであると仮定しよう。あるインフィニット（無限）サブセット（部分集合）$S$で$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないものがあったと仮定しよう。任意のカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）$S^{\prime }\subseteq S$も$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないことになる、なぜなら、任意のポイント$p\in T$に対して、以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_p$、つまり、$U_p\cap S$はファイナイト（有限）数ポイントたちのみを持つ、があることになり、$U_p\cap S^{\prime }$もファイナイト（有限）数ポイントたちのみを持つことになる、なぜなら、$S^{\prime }$は$S$より小さいことになる。各ファイナイト（有限）（空でもよい）$S^{″}\subseteq S^{\prime }$に対して、$f(S^{″}):=\cup \{U_p|U_p\cap S^{\prime }=S^{″}\}$を定義しよう、それは、ある$S^{″}$に対して、空であるかもしれないが、それは何らの問題でもないだろう。$O:=\{f(S^{″})|S^{″}\subseteq S^{\prime }\}$は$T$のオープンカバー（開被覆）であることになる、なぜなら、$S^{\prime }$は$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持たないことになるから、任意のポイント$p\in T$は以下を満たす少なくとも1つの$U_p$、つまり、$U_p\cap S^{\prime }$はファイナイト（有限）ポイントたちのみを持つ、を持つことになる、そして、実のところ、カウンタブル（可算）である、なぜなら、任意のカウンタブル（可算）セット（集合）の全ファイナイト（有限）サブセット（部分集合）たちのセット（集合）はカウンタブル（可算）であることになる: 任意のカウンタブル（可算）セット（集合）$S^{\prime }=\{1,2,...\}$に対して、以下の順序で全ファイナイト（有限）セット（集合）たちを選択する: 第1に$\mathrm{\varnothing }$を取る; 第2に$\{1\}$を取り$\{1\}$を選択する; 第3に$\{1,2\}$を取り$\{2\}$および$\{1,2\}$を選択する; 第4に$\{1,2,3\}$を取り$\{3\}$、$\{2,3\}$、$\{1,2,3\}$を選択する、例えば。

あるファイナイト（有限）サブカバー $O^{\prime }:=\{f(S_i^{″})\}\subseteq O$があることになる。あるポイント$p\in S^{\prime }\setminus {\cup }_i{S}_i^{″}$があることになる、なぜなら、$S^{\prime }$はインフィニット（無限）であることになる、その一方、${\cup }_i{S}_i^{″}$はファイナイト（有限）であることになる。しかし、任意の$i$に対して、$p\notin f(S_i^{″})$、なぜなら、$f(S_i^{″})\cap S^{\prime }=S_i^{″}$、$O^{\prime }$が$T$のカバーであることに反する矛盾。

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参考資料

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