セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）を持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はあるカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）を持つという命題の記述および証明を得る
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(J\): \(\{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(O\): \(= \{U_j \subseteq T \vert j \in J\}\), \(\in \{S \text{ の全てのオープンカバー（開被覆）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists J^` \subseteq J \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）たち }\} (\{U_j \subseteq T \vert j \in J^`\} \in \{S \text{ の全てのカウンタブル（可算）オープンカバー（開被覆）たち }\})\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）\(B = \{V_l \subseteq T \vert l \in L\}\)を取り、\(L^` := \{l \in L \vert \exists j \in J (V_l \subseteq U_j)\}\)および\(f: L^` \to Pow (O), l \mapsto \{U_j \in O \vert V_l \subseteq U_j\}\)を定義し、\(O\)の全ての非空サブセット（部分集合）たちのセット（集合）から\(O\)の中へのあるチョイスファンクション（選択関数）\(c\)を取り、\(c \circ f (L^`)\)はあるカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）であることを見る。
ステップ1:
\(B = \{V_l \subseteq T \vert l \in L\}\)、ここで、\(L\)はあるカウンタブル（可算）インデックスセット（集合）、を\(T\)に対する任意のカウンタブル（可算）ベーシス（基底）としよう。
インデックスセット（集合）\(L^` := \{l \in L \vert \exists j \in J (V_l \subseteq U_j)\}\)、それは、カウンタブル（可算）である、カウンタブル（可算）\(L\)のあるサブセット（部分集合）として。
ファンクション（関数）\(f: L^` \to Pow (O), l \mapsto \{U_j \in O \vert V_l \subseteq U_j\}\)、それは必ずしもインジェクティブ（単射）ではないが、それは問題ではない、を定義しよう。
\(O\)に関して、全ての非空サブセット（部分集合）たちのセット（集合）から\(O\)の中へのあるチョイスファンクション（選択関数）（各非空サブセット（部分集合）からある要素を選ぶ）があり、\(c\)で表記する。
\(f (L^`)\)の各要素は\(O\)のある非空サブセット（部分集合）である、なぜなら、\(L^`\)は、各ポイントイメージ（像）が非空であるように選ばれた、したがって、\(c \circ f: L^` \to O\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
\(c \circ f (L^`) \subseteq O\)。
\(c \circ f (L^`)\)は\(S\)をカバーする、なぜなら、各\(s \in S\)に対して、以下を満たすある\(U_j \in O\)、つまり、\(s \in U_j\)、があり、以下を満たすある\(l \in L^`\)、つまり、\(s \in V_l \subseteq U_j\)、があり、\(c \circ f (l)\)、それは、\(U_j\)ではないかもしれないが、いずれにせよ、\(V_l\)を包含する、がある、したがって、\(s\)は\(c \circ f (l)\)内に包含されている。
\(c \circ f (L^`)\)はカウンタブル（可算）である、なぜなら、\(L^`\)はカウンタブル（可算）である。
したがって、\(c \circ f (L^`)\)は、\(S\)のあるカウンタブル（可算）サブカバー（部分被覆）である。
