389: セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つ

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セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）のサブカバーの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、以下を満たす任意のオープンカバー（開被覆）$O:=\{U_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、つまり、$S\subseteq {\cup }_{\alpha \in A}{U}_{\alpha }$、は以下を満たすあるカウンタブル（可算）サブカバー$O^{\prime }:=\{U_i|i\in I\}$、ここで、$I\subseteq A$はあるカウンタブル（可算）インデックスたちセット（集合）、つまり、$S\subseteq {\cup }_{i\in I}{U}_i$、を持つ。

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2: 証明

あるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を$\{B_i|i\in I^{\prime }\}$、ここで、$I^{\prime }$はあるカウンタブル（可算）インデックスたちセット（集合）、と表記しよう。インデックスたちセット（集合）$I^{″}:=\{i\in I^{\prime }|\mathrm{\exists }\alpha \in A\ni B_i\subseteq U_{\alpha }\}$およびファンクション（関数）$f:I^{″}\to PowO,i\mapsto \{U_{\alpha }\in O|B_i\subseteq U_{\alpha }\}$、それは必ずしもインジェクティブ（全射）ではない、しかし、それは何らの問題でもない、を定義しよう。$O$に関して、全ての非空サブセット（部分集合）たちのセット（集合）から$O$へのあるチョイス（選択）ファンクション（関数）で各非空サブセット（部分集合）からある要素を選択するものがあり、$c$と表記する。$c\circ f:I^{″}\to O$はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。$c\circ f$のレンジ（値域）は$S$をカバーする、なぜなら、任意の$p\in S$に対して、以下を満たすある$U_{\alpha }\in O$、つまり、$p\in U_{\alpha }$、がある、以下を満たすある$i\in I^{″}$、つまり、$p\in B_i\subseteq U_{\alpha }$、がある、そして、$c\circ f(i)$がある、それは、$U_{\alpha }$ではないかもしれないがいずれにせよ$B_i$を包含している、したがって、$p$は$c\circ f(i)$内に包含されている。したがって、$O^{\prime }:=\{c\circ f(i)|i\in I^{″}\}$は$O$のカウンタブル（可算）サブカバーである。

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3: 注

したがって、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、そしてその場合に限って。

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参考資料

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