セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、オープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、セカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のオープンカバー（開被覆）のサブカバーの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）上で、任意のサブセット（部分集合）の任意のオープンカバー（開被覆）はカウンタブル（可算）サブカバーを持つという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、以下を満たす任意のオープンカバー（開被覆）\(O := \{U_\alpha\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、つまり、\(S \subseteq \cup_{\alpha \in A} U_\alpha\)、は以下を満たすあるカウンタブル（可算）サブカバー\(O' := \{U_i\vert i \in I\}\)、ここで、\(I \subseteq A\)はあるカウンタブル（可算）インデックスたちセット（集合）、つまり、\(S \subseteq \cup_{i \in I} U_i\)、を持つ。
2: 証明
あるカウンタブル（可算）ベーシス（基底）を\(\{B_i\vert i \in I'\}\)、ここで、\(I'\)はあるカウンタブル（可算）インデックスたちセット（集合）、と表記しよう。インデックスたちセット（集合）\(I'' := \{i \in I'\vert \exists \alpha \in A \owns B_i \subseteq U_\alpha\}\)およびファンクション（関数）\(f: I'' \rightarrow Pow O, i \mapsto \{U_\alpha \in O\vert B_i \subseteq U_\alpha\}\)、それは必ずしもインジェクティブ（全射）ではない、しかし、それは何らの問題でもない、を定義しよう。\(O\)に関して、全ての非空サブセット（部分集合）たちのセット（集合）から\(O\)へのあるチョイス（選択）ファンクション（関数）で各非空サブセット（部分集合）からある要素を選択するものがあり、\(c\)と表記する。\(c \circ f: I'' \rightarrow O\)はウェルデファインド（妥当に定義されている）である。\(c \circ f\)のレンジ（値域）は\(S\)をカバーする、なぜなら、任意の\(p \in S\)に対して、以下を満たすある\(U_\alpha \in O\)、つまり、\(p \in U_\alpha\)、がある、以下を満たすある\(i \in I''\)、つまり、\(p \in B_i \subseteq U_\alpha\)、がある、そして、\(c \circ f (i)\)がある、それは、\(U_\alpha\)ではないかもしれないがいずれにせよ\(B_i\)を包含している、したがって、\(p\)は\(c \circ f (i)\)内に包含されている。したがって、\(O' := \{c \circ f (i)\vert i \in I''\}\)は\(O\)のカウンタブル（可算）サブカバーである。
3: 注
したがって、任意のセカンドカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はコンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、そしてその場合に限って。
