トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）\(T\)はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、\(T\)がシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合。
2: 証明
\(T\)はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトであると仮定しよう。各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)はある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）\(p \in T\)を持つこと、それが含意するのは、\(T\)はカウンタブリー（可算に）コンパクトであること、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、を証明しよう。
任意のインフィニット（無限）サブセット（部分集合）を\(S \subset T\)としよう。\(S\)からポイントたちの任意のシーケンス\(p_1, p_2, ...\)を選択しよう、それは可能である、なぜなら、\(S\)はインフィニット（無限）である。あるサブシーケンス\(p'_1, p'_2, ...\)で、あるポイント\(p \in T\)へコンバージ（収束）するものがある。\(p\)は\(S\)の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、なぜなら、任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p \subseteq T\)に対して、以下を満たすある\(i_0\)、つまり、\(i_0 \lt i\)である各\(i\)に対して\(p'_i \in U_p\)、それが意味するのは、\(U_p \cap S\)はインフィニット（無限）であるということ。
3: 注
逆は一般に真ではない。\(T\)がファーストカウンタブルであるという要件付きの逆は真である、別の記事内で証明されているとおり。
