トポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、もしも、それがシーケンシャル（列的）にコンパクトである場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がシーケンシャル（列的）にコンパクトである場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのシーケンシャル（列的）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(T \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）ににコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: \(T\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトであると仮定する; ステップ2: 各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）はある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つことを見る; ステップ3: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(T\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトであると仮定しよう。
ステップ2:
\(S \subseteq T\)を任意のインフィニット（無限）サブセット（部分集合）としよう。
\(S\)から互いに異なるポイントたちの任意のシーケンス（列）\((s_1, s_2, ...)\)を選ぼう、それは可能である、なぜなら、\(S\)はインフィニット（無限）である。
あるサブシーケンス（部分列）\((s^`_1, s^`_2, ...)\)であるポイント\(t \in T\)へコンバージ（収束）するものがある、なぜなら、\(T\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトである。
\(t\)は\(S\)のある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）である、なぜなら、\(t\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(U_t \subseteq T\)に対して、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)、つまり、\(N \lt n\)を満たす各\(n \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(s^`_n \in U_t\)、がある、それが意味するのは、\(U_t \cap S\)はインフィニット（無限）であること。
したがって、\(T\)の各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）はある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ。
ステップ3:
任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、\(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである。
3: 注
逆は、一般には真ではない。
逆で\(T\)がファーストカウンタブル（可算）であるという要求を持つものは真である、別の記事内で証明されたとおり。
