391: トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合

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トポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、カウンタブリー（可算に）コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、シーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、$T$がシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合。

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2: 証明

$T$はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトであると仮定しよう。各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）$S\subseteq T$はある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）$p\in T$を持つこと、それが含意するのは、$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトであること、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって、を証明しよう。

任意のインフィニット（無限）サブセット（部分集合）を$S\subset T$としよう。$S$からポイントたちの任意のシーケンス$p_1,p_2,...$を選択しよう、それは可能である、なぜなら、$S$はインフィニット（無限）である。あるサブシーケンス$p_1^{\prime },p_2^{\prime },...$で、あるポイント$p\in T$へコンバージ（収束）するものがある。$p$は$S$の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）である、なぜなら、任意のネイバーフッド（近傍）$U_p\subseteq T$に対して、以下を満たすある$i_0$、つまり、$i_0<i$である各$i$に対して$p_i^{\prime }\in U_p$、それが意味するのは、$U_p\cap S$はインフィニット（無限）であるということ。

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3: 注

逆は一般に真ではない。$T$がファーストカウンタブルであるという要件付きの逆は真である、別の記事内で証明されているとおり。

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参考資料

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