ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、\(T\)がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合。
2: 証明
\(T\)はカウンタブリー（可算に）コンパクトであると仮定しよう。任意のインフィニット（無限）ポイントたちシーケンスを\(p_1, p_2, ...\)としよう。サブセット（部分集合）\(S \subseteq T:= \{p_1, p_2, ...\}\)を定義しよう。\(S\)はある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）\(p \in T\)を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(p\)にあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）\(\{B_{p, i}\}\)がある。あるポイント\(p'_1 \in B_{p, 1} \cap S\)がある。あるポイント\(p'_2 \in B_{p, 1} \cap B_{p, 2} \cap S\)、それはシーケンス内で\(p'_1\)より後にあるように取れる、なぜなら、\(B_{p, 1} \cap B_{p, 2} \cap S\)はインフィニット（無限）ポイントたちを持つ、がある、等々と続く。結局、あるポイント\(p'_i \in B_{p, 1} \cap B_{p, 2} \cap ... \cap B_{p, i} \cap S\)、それはシーケンス内で\(p'_1, p'_2, ..., p'_{i - 1}\)より後にある、がある。\(p'_1, p'_2, ...\)は元のシーケンスのサブシーケンスである。当該サブシーケンス\(p\)へコンバージ（収束）する、なぜなら、任意のネイバーフッド（近傍）\(U_p\)に対して、ある\(B_{p, i} \subseteq U_p\)があり、任意の\(i \le j\)に対して、\(p'_j \in B_{p, i} \subseteq U_p\)。
