392: ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、それがカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、ことの記述/証明

---

話題

About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、シーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、カウンタブリー（可算に）コンパクトトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、$T$がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合。

---

2: 証明

$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトであると仮定しよう。任意のインフィニット（無限）ポイントたちシーケンスを$p_1,p_2,...$としよう。サブセット（部分集合）$S\subseteq T:=\{p_1,p_2,...\}$を定義しよう。$S$はある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）$p\in T$を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって。$p$にあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）ベーシス（基底）$\{B_{p,i}\}$がある。あるポイント$p_1^{\prime }\in B_{p,1}\cap S$がある。あるポイント$p_2^{\prime }\in B_{p,1}\cap B_{p,2}\cap S$、それはシーケンス内で$p_1^{\prime }$より後にあるように取れる、なぜなら、$B_{p,1}\cap B_{p,2}\cap S$はインフィニット（無限）ポイントたちを持つ、がある、等々と続く。結局、あるポイント$p_i^{\prime }\in B_{p,1}\cap B_{p,2}\cap ...\cap B_{p,i}\cap S$、それはシーケンス内で$p_1^{\prime },p_2^{\prime },...,p_{i-1}^{\prime }$より後にある、がある。$p_1^{\prime },p_2^{\prime },...$は元のシーケンスのサブシーケンスである。当該サブシーケンス$p$へコンバージ（収束）する、なぜなら、任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$に対して、ある$B_{p,i}\subseteq U_p$があり、任意の$i\le j$に対して、$p_j^{\prime }\in B_{p,i}\subseteq U_p$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>