ファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、もしも、それがカウンタブル（可算）にコンパクトである場合
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブル（可算）にコンパクトである場合、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのファーストカウンタブル（可算）トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(T \in \{\text{ 全てのカウンタブル（可算）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\implies\)
\(T \in \{\text{ 全てのシーケンシャル（列的）にコンパクトなトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: 任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: \(T\)はカウンタブル（可算）にコンパクトであると仮定する; ステップ2: \(T\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトであることを見る。
ステップ1:
\(s: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to T\)を任意のものとしよう。
サブセット（部分集合）\(S := s (\mathbb{N} \setminus \{0\}) \subseteq T\)を定義しよう。
もしも、\(S\)がファイナイト（有限）である場合、\(S\)の少なくともある要素がインフィニット（無限）回出現する、したがって、その要素のみを選ぶサブシーケンス（部分列）は当該要素へコンバージ（収束）する。
これ以降、\(S\)はインフィニット（無限）であると仮定しよう。
\(S\)はある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）\(t \in T\)を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブル（可算）にコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(t\)におけるあるカウンタブル（可算）ネイバーフッド（近傍）たちベーシス（基底）\(\{U_{t, j} \vert j \in J\}\)がある。
あるポイント\(t'_1 \in U_{t, 1} \cap S\)がある、なぜなら、\(t\)は\(S\)のある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）である。
あるポイント\(t'_2 \in U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \cap S\)、それは、当該シーケンス（列）内にて\(t'_1\)より後ろに選べる、がある、なぜなら、\(U_{t, 1} \cap U_{t, 2} \cap S\)はインフィニット（無限）個ポイントたちを持つ。
等々と続く、結局、各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、あるポイント\(t'_j \in U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, j} \cap S\)、それは、当該シーケンス（列）内にて\(t'_1, ..., t'_{j - 1}\)より後ろである、がある。
\((t'_1, t'_2, ...)\)は、元のシーケンス（列）のあるサブシーケンス（部分列である。
\(t\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)に対して、ある\(U_{t, N} \subseteq U_t\)がある、ある\(N\)に対して、そして、\(N \lt j\)を満たす各\(j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)に対して、\(t'_j \in U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, j} \cap S \subseteq U_{t, N} \subseteq U_t\)、それが意味するのは、\((t'_1, t'_2, ...)\)は\(t\)へコンバージ（収束）すること。
