385: ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）リアル（実）インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）はリアル（実）インターバル（区間）である

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ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）リアル（実）インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）はリアル（実）インターバル（区間）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ダイコトミカリー（2分割的に）ディスジョイント（互いに素）なセット（集合）たちのセット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、$\mathbb{R}$インターバル（区間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）$\mathbb{R}$インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）は$\mathbb{R}$インターバル（区間）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）$\mathbb{R}$インターバル（区間）たちセット（集合）$\{I_{\alpha }|\alpha \in A\}$、ここで、$A$は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、ユニオン（和集合）${\cup }_{\alpha \in A}{I}_{\alpha }$は$\mathbb{R}$インターバル（区間）である。

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2: 証明

以下を満たす任意のポイントたち$r_1,r_2\in {\cup }_{\alpha \in A}{I}_{\alpha }$、つまり、$r_1<r_2$、に対して、以下を満たす任意の$r_3\in \mathbb{R}$、つまり、$r_1<r_3<r_2$、に対して、$r_3\in {\cup }_{\alpha \in A}{I}_{\alpha }$であるか？$r_3\notin {\cup }_{\alpha \in A}{I}_{\alpha }$であったと仮定しよう。すると、各$I_{\alpha }$は全体として$r_3$より小さいか全体として$r_3$より大きいかであるということになるだろう、なぜなら、もしも、$I_{\alpha }$が$r_3$より小さなあるポイントと$r_3$より大きなあるポイントの両方を包含していたら、$r_3$は$I_{\alpha }$の中に、したがって、当該ユニオン（和集合）の中に、包含されているということになるだろう。したがって、以下を満たすダイコトミー（2分割的）、つまり、$r_3$より小さな全てのインターバル（区間）たちが一方の部分内に、$r_3$より大きな全てのインターバル（区間）たちが他方の部分内にある、があることになるだろう。当該ダイコトミー（2分割的）はディスジョイント（互いに素）であるということになるだろう、矛盾。

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参考資料

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