ダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）リアル（実）インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）はリアル（実）インターバル（区間）であることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ダイコトミカリー（2分割的に）ディスジョイント（互いに素）なセット（集合）たちのセット（集合）の定義を知っている。
- 読者は、\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）たちセット（集合）のユニオン（和集合）は\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のダイコトミカリー（2分割的に）非ディスジョイント（互いに素）\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）たちセット（集合）\(\{I_\alpha\vert \alpha \in A\}\)、ここで、\(A\)は任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、に対して、ユニオン（和集合）\(\cup_{\alpha \in A} I_\alpha\)は\(\mathbb{R}\)インターバル（区間）である。
2: 証明
以下を満たす任意のポイントたち\(r_1, r_2 \in \cup_{\alpha \in A} I_\alpha\)、つまり、\(r_1 \lt r_2\)、に対して、以下を満たす任意の\(r_3 \in \mathbb{R}\)、つまり、\(r_1 \lt r_3 \lt r_2\)、に対して、\(r_3 \in \cup_{\alpha \in A} I_\alpha\)であるか？\(r_3 \notin \cup_{\alpha \in A} I_\alpha\)であったと仮定しよう。すると、各\(I_\alpha\)は全体として\(r_3\)より小さいか全体として\(r_3\)より大きいかであるということになるだろう、なぜなら、もしも、\(I_\alpha\)が\(r_3\)より小さなあるポイントと\(r_3\)より大きなあるポイントの両方を包含していたら、\(r_3\)は\(I_\alpha\)の中に、したがって、当該ユニオン（和集合）の中に、包含されているということになるだろう。したがって、以下を満たすダイコトミー（2分割的）、つまり、\(r_3\)より小さな全てのインターバル（区間）たちが一方の部分内に、\(r_3\)より大きな全てのインターバル（区間）たちが他方の部分内にある、があることになるだろう。当該ダイコトミー（2分割的）はディスジョイント（互いに素）であるということになるだろう、矛盾。
