1ディメンジョナル（次元）ユークリディアントポロジカルスペース（空間）のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちはインターバル（区間）たちであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コネクト（連結）されたトポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、\(\mathbb{R}^n\)インターバル（区間）の定義を知っている。
- 読者は、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(\mathbb{R}^n\)インターバル（区間）はコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 注
ここでの'インターバル（区間）'は任意のシングルトン（単点セット（集合））\(\{r\}\)を\([r, r]\)として含む。任意のインターバル（区間）は少なくとも2ポイントたちを持たなければならないという別の定義もあり得るが、私たちはそれを採用しなかった、なぜなら、\([r, r]\)を除外することは、より不自然であり、私たちの目的たちのためには便利よりはより扱いにくいと思われる。
2: 記述
\(\mathbb{R}\)ユークリディアントポロジカルスペース（空間）の全てのコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）たちのセット（集合）は全てのインターバル（区間）たちのセット（集合）である。
3: 証明
任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）はインターバル（区間）であることを証明しよう、任意の非インターバル（区間）はコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）でないことを証明することによって。\(S \subseteq \mathbb{R}\)はインターバル（区間）でない任意のサブセット（部分集合）であるとしよう。以下を満たすいくつかのポイントたち\(r_1, r_2 \in S\)、つまり、\(r_1 \lt r_2\)、に対して、以下を満たすあるポイント\(r_3 \in \mathbb{R}\)、つまり、\(r_1 \lt r_3 \lt r_2\)および\(r_3 \notin S\)、がある。\(S_1:= S \cap (-\infty, r_3)\)および\(S_2:= S \cap (r_3, \infty)\)を定義しよう。\(S_i\)は非空であり、\(S\)上のオープン（開）である、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。\(S = S_1 \cup S_2\)および\(S_1 \cap S_2 = \emptyset\)。したがって、\(S\)はコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）ではない。
任意のインターバル（区間）はコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）である、任意の\(\mathbb{R}^n\)インターバル（区間）はコネクテッド（連結された）トポロジカルサブスペース（部分空間）であるという命題によって。
