414: ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックである

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ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ホモトピックマップ（写像）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に、当該プロダクトの各要素の中への当該マップ（写像）のプロジェクション（射影）を行なうコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちおよび任意の第2トポロジカルスペース（空間）から任意の第3トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちに対して、当該ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,T_3$、任意のホモトピックマップ（写像）たち$f_1,f_2:T_1\to T_2$、任意のホモトピックマップ（写像）たち$f_1^{\prime },f_2^{\prime }:T_2\to T_3$に対して、$f_1^{\prime }\circ f_1$と$f_2^{\prime }\circ f_2$はホモトピックである。

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2: 証明

以下を満たすホモトピーたち$f_3:T_1\times I\to T_2$および$f_3^{\prime }:T_2\times I\to T_3$、つまり、$f_3(p,0)=f_1(p)$、$f_3(p,1)=f_2(p)$、$f_3^{\prime }(p,0)=f_1^{\prime }(p)$、$f_3^{\prime }(p,1)=f_2^{\prime }(p)$、がある。 .

$f^{″}:T_1\times I\to T_2\times I\to T_3$, $(p,i)\mapsto (f_3(p,i),i)\mapsto f_3^{\prime }(f_3(p,i),i)$を定義しよう。$f^{″}$はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、ここで、当該コンポジション（合成）の前半はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に、当該プロダクトの各要素の中への当該マップ（写像）のプロジェクション（射影）を行なうコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。$f^{″}(p,0)=f_3^{\prime }(f_3(p,0),0)=f_3^{\prime }(f_1(p),0)=f_1^{\prime }(f_1(p))$。$f^{″}(p,1)=f_3^{\prime }(f_3(p,1),1)=f_3^{\prime }(f_2(p),1)=f_2^{\prime }(f_2(p))$。

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参考資料

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