ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちおよび任意の第2トポロジカルスペース（空間）から任意の第3トポロジカルスペース（空間）の中への任意のホモトピックマップ（写像）たちに対して、当該ホモトピックマップ（写像）たちのコンポジション（合成）たちはホモトピックであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2, T_3\)、任意のホモトピックマップ（写像）たち\(f_1, f_2: T_1 \to T_2\)、任意のホモトピックマップ（写像）たち\(f'_1, f'_2: T_2 \to T_3\)に対して、\(f'_1 \circ f_1\)と\(f'_2 \circ f_2\)はホモトピックである。
2: 証明
以下を満たすホモトピーたち\(f_3: T_1 \times I \to T_2\)および\(f'_3: T_2 \times I \to T_3\)、つまり、\(f_3 (p, 0) = f_1 (p)\)、\(f_3 (p, 1) = f_2 (p)\)、\(f'_3 (p, 0) = f'_1 (p)\)、\(f'_3 (p, 1) = f'_2 (p)\)、がある。 .
\(f'': T_1 \times I \to T_2 \times I \to T_3\), \((p, i) \mapsto (f_3 (p, i), i) \mapsto f'_3 (f_3 (p, i), i)\)を定義しよう。\(f''\)はコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として、ここで、当該コンポジション（合成）の前半はコンティニュアス（連続）である、任意のトポロジカルスペース（空間）から任意のプロダクトトポロジカルスペース（空間）の中への任意のマップ（写像）はコンティニュアス（連続）である、もしも、当該マップ（写像）の後に、当該プロダクトの各要素の中への当該マップ（写像）のプロジェクション（射影）を行なうコンポジション（合成）がコンティニュアス（連続）である場合、そしてその場合に限って、という命題によって。\(f'' (p, 0) = f'_3 (f_3 (p, 0), 0) = f'_3 (f_1 (p), 0) = f'_1 (f_1 (p))\)。\(f'' (p, 1) = f'_3 (f_3 (p, 1), 1) = f'_3 (f_2 (p), 1) = f'_2 (f_2 (p))\)。
