415: コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はマップ（写像）たちにインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコンポジション（合成）である

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コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）はマップ（写像）たちにインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコンポジション（合成）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、マップ（写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の第1トポロジカルスペース（空間）から任意の第2トポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）および第2トポロジカルスペース（空間）から任意の第3トポロジカルスペース（空間）の中への任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）に対して、当該マップ（写像）たちのコンポジション（合成）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は当該マップ（写像）たちによってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たちのコンポジション（合成）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2,T_3$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち$f_1:T_1\to T_2$および$f_2:T_2\to T_3$に対して、$f_2\circ f_1$によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）$(f_2\circ f_1{)}_{\ast }$は、$f_1$および$f_2$によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち${f_1}_{\ast }$および${f_2}_{\ast }$のコンポジション（合成）である、つまり、$(f_2\circ f_1{)}_{\ast }={f_2}_{\ast }\circ {f_1}_{\ast }$。

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2: 証明

任意のコンティニュアス（連続）ループパス$f:I\to T_1$、そのホモトピックイクイバレンス（等価）クラス$[f]$に対して、$(f_2\circ f_1{)}_{\ast }([f])={f_2}_{\ast }\circ {f_1}_{\ast }([f])$？$(f_2\circ f_1{)}_{\ast }([f])=[f_2\circ f_1(f)]={f_2}_{\ast }([f_1(f)])={f_2}_{\ast }({f_1}_{\ast }([f]))$。したがって、はい。

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参考資料

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