413: C∞ベクトルたちバンドル（束）に対して、C∞フレームはトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在する

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$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、$C^{\mathrm{\infty }}$フレームはトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在することの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）上のローカル$C^{\mathrm{\infty }}$フレームの定義を知っている。
• 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
• 読者は、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題を認めている。
• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$(E,M,\pi )$: $\in \{\text{ ランク }k\text{ の全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ ベクトルたちバンドル（束）たち }\}$
$U$: $\in \{M\text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$\mathrm{\exists }U\text{ 上方のある }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ フレーム }$
$⟺$
$U\in \{M\text{ の全てのトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\}$
//

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2: 自然言語記述

ランク$k$の任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）$(E,M,\pi )$、任意のオープンサブセット（開部分集合）$U\subseteq M$に対して、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームは$U$上方に存在する、もしも、$U$が$M$のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $U$はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であると仮定し、ある$C^{\mathrm{\infty }}$フレームを$U$上方に構築する、当該トリビアライゼーションに基づいて: ステップ2: \ある(C^\infty\)フレームが$U$上方にあると仮定し、あるトリビアライゼーションを$U$上方に構築する、当該フレームに基づいて。

ステップ1:

ステップ1戦略: ステップ1-1: あるトリビアライゼーション$\mathrm{\Phi }$を取る; ステップ1-2: カノニカル（正典）フレーム$e_1^{\prime },...,e_k^{\prime }$を$\mathrm{\Phi }({\pi }^{-1}(U))=U\times {\mathbb{R}}^k$上に、インデュースト（誘導された）$C^{\mathrm{\infty }}$フレームを${\pi }^{-1}(U)$, $(e_1,...,e_k)$上に、取る; ステップ1-3: それは本当に$C^{\mathrm{\infty }}$フレームであることを見る。

ステップ1-1:

$U$はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であると仮定しよう。

あるトリビアライゼーション$\mathrm{\Phi }:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$がある。

ステップ1-2:

カノニカル（正典）フレーム$e_1^{\prime },...,e_k^{\prime }$が$\mathrm{\Phi }({\pi }^{-1}(U))=U\times {\mathbb{R}}^k$上にある、それが意味するのは、$e_j^{\prime }:U\to U\times {\mathbb{R}}^k,p^{\prime }\to (p^{\prime },0,...,0,1,0,...,0)$、ここで、$1$は${\mathbb{R}}^k$のj-番目コンポーネントである、それは本当にフレームである（特に、$C^{\mathrm{\infty }}$フレームであるとは主張されていない）、明らかに。

${\pi }^{-1}(U)$上のインデュースト（誘導された）$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム$(e_1,...,e_k)$がある、ここで、$e_j(p^{\prime }):={\mathrm{\Phi }}^{-1}(e_j^{\prime }(p^{\prime }))$。

ステップ1-3:

それは本当に$C^{\mathrm{\infty }}$フレームであることを見よう。

$e_j$は本当にセクション（断面）である、なぜなら、$\pi (e_j(p^{\prime }))=\pi ({\mathrm{\Phi }}^{-1}(e_j^{\prime }(p^{\prime })))=p^{\prime }$、なぜなら、$\mathrm{\Phi }{|}_{{\pi }^{-1}(p^{\prime })}:{\pi }^{-1}(p^{\prime })\to \{p^{\prime }\}\times {\mathbb{R}}^k$は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、ここで、$e_j^{\prime }(p^{\prime })\in \{p^{\prime }\}\times {\mathbb{R}}^k$。

$(e_1,...,e_k)$は本当に各ポイントにおいてリニア（線形）にインディペンデント（独立）である、なぜなら、$\mathrm{\Phi }$は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

$e_j$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$であることを見よう。

任意のポイント$p\in U$において、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$U_p\subseteq M$、つまり、$U_p\subseteq U$、がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって。$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$を当該チャートであるとする。

インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E,\widetilde{{\varphi }_p})$がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。

当該チャート上で、$e_j(p^{\prime })$のコーディネート（座標）たちは$\widetilde{{\varphi }_p}(e_j(p^{\prime }))=\lambda \circ ({\varphi }_p,id)\circ \mathrm{\Phi }(e_j(p^{\prime }))$、ここで、$\lambda :{\mathbb{R}}^{d+k}\to {\mathbb{R}}^{d+k},(x^1,...,x^d,x^{d+1},...,x^{d+k})\mapsto (x^{d+1},...,x^{d+k},x^1,...,x^d)$、である、$=\lambda \circ ({\varphi }_p,id)(e_j^{\prime }(p^{\prime }))=\lambda \circ ({\varphi }_p,id)((p^{\prime },0,...,0,1,0,...,0))$、ここで、$1$は${\mathbb{R}}^k$内の$j$-番目コンポーネント、$=(0,0,...,1,...,0,p^1,p^2,...,p^d)$。当該コンポーネントたちは、$p^1,p^2,...,p^d$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$であるから、$e_j$は各$p$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、それが意味するのは、$e_j$は本当に$C^{\mathrm{\infty }}$であるということ。

したがって、$(e_1,...,e_k)$は本当に$U$上方の$C^{\mathrm{\infty }}$フレームである。

ステップ2:

ステップ2戦略: ステップ2-1: $s_1,s_2,...,s_k$は$U$上方のある$C^{\mathrm{\infty }}$フレームであるとし、各$b\in {\pi }^{-1}(U)$を$b=b^j{s}_j(p)$として表わす; ステップ2-2: $f:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$を、$f(b^j{s}_j(p))=(p,b^1,b^2,...,b^k)$として定義する; ステップ2-3: $f$は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見る; ステップ2-4: $f$はディフェオモーフィズムであることを見る。

ステップ2-1:

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$フレーム$s_1,s_2,...,s_k$が$U$上方にあると仮定しよう。

各ポイント$b\in {\pi }^{-1}(U)$に対して、$b=b^j{s}_j(p)$、ここで、$p=\pi (b)$。

ステップ2-2:

マップ（写像）$f:{\pi }^{-1}(U)\to U\times {\mathbb{R}}^k$を$f(b^j{s}_j(p))=(p,b^1,b^2,...,b^k)$として定義しよう、それはウェルデファインド（妥当に定義されている）、なぜなら、$p$およびコンポーネントたち$b^j$たちはユニークに決定される。

$f$は明らかにバイジェクティブ（全単射）である、したがって、インバース（逆）$f^{-1}$がある。

ステップ2-3:

$f$は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることを見よう。

$f{|}_{{\pi }^{-1}(p)}:{\pi }^{-1}(p)\to \{p\}\times {\mathbb{R}}^k$はリニア（線形）である、なぜなら、$f(r{b}^j{s}_j(p)+r^{\prime }{b}^{\prime j}{s}_j(p))=f((r{b}^j+r^{\prime }{b}^{\prime j})s_j(p))=(p,r{b}^1+r^{\prime }{b}^{\prime 1},...,r{b}^k+r^{\prime }{b}^{\prime k})=r(p,b^1,...,b^k)+r^{\prime }(p,b^{\prime 1},...,b^{\prime k})=rf(b^j{s}_j(p))+r^{\prime }f(b^{\prime j}{s}_j(p))$。

$f{|}_{{\pi }^{-1}(p)}$は明らかにバイジェクティブ（全単射）である。

したがって、$f$は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）リニア（線形）マップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

ステップ2-4:

$f$はディフェオモーフィズムであることを証明しよう。

任意のポイント$p\in U$の周りに、以下を満たすあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）$U_p\subset M$、つまり、$U_p\subset U$がある、なぜなら、$p$の周りにあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、あるチャートトリビアライジングオープンカバー（開被覆）があるという命題によって、そして、その$U$とのインターセクション（共通集合）はそういうものである、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、その任意のチャートに対して、当該チャートの、任意のオープンサブセット（開部分集合）ドメイン（定義域）についてのリストリクション（制限）はチャートであるという命題および任意の$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）の任意のオープンサブセット（開部分集合）は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるという命題によって。当該チャートを$(U_p\subseteq M,{\varphi }_p)$とする。当該トリビアライゼーションを$\mathrm{\Phi }:{\pi }^{-1}(U_p)\to U_p\times {\mathbb{R}}^k$とする。

インデュースト（誘導された）チャート$({\pi }^{-1}(U_p)\subseteq E,\widetilde{{\varphi }_p})$がある、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼーションはカノニカル（正典）チャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。

当該チャート上で、$\widetilde{{\varphi }_p}(s_j(p))=({s_j(p)}^1,...,{s_j(p)}^k,p^1,p^2,...,p^d)$、ここで、${s_j(p)}^l$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$s_j$は$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$\widetilde{{\varphi }_p}(b)=\widetilde{{\varphi }_p}(b^j{s}_j(p^{\prime }))=\lambda \circ ({\varphi }_p,id)\circ \mathrm{\Phi }(b^j{s}_i(p^{\prime }))=\lambda \circ (\varphi ,id)\circ b^j\mathrm{\Phi }(s_j(p^{\prime }))$、なぜなら、$\mathrm{\Phi }$は'各ファイバーにおいてベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、$=(b^j{s_j(p^{\prime })}^1,...,b^j{s_j(p^{\prime })}^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d}):=(c^1,...,c^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$。

当該マトリックス（行列）を$S(p):=[s_j(p{)}^l]$と表記しよう、すると、$(c^1,c^2,...,c^k{)}^t=S(b^1,b^2,...,b^k{)}^t$。$S$は、当該トリビアライゼーションの当該ファーバー上の当該'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の、${\pi }^{-1}(p)$上のフレームベーシス（基底）および$\{p\}\times {\mathbb{R}}^k$上のカノニカル（正典）ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちファンクション（関数）マトリックス（行列）であり、インバーティブル（可逆）である。$S$のコンポーネントたちは$C^{\mathrm{\infty }}$である。インバースマトリックス（逆行列）$S^{-1}$のコンポーネントたちは$C^{\mathrm{\infty }}$である: ラプラス展開を使ってインバースマトリックス（逆行列）を得る。

他方では、チャート$(U_p\times {\mathbb{R}}^k\subseteq U\times {\mathbb{R}}^k,\lambda \circ ({\varphi }_p,id))$がある。

$f$のコンポーネントたちファンクション（関数）$\lambda \circ ({\varphi }_p,id)\circ f\circ {\widetilde{{\varphi }_p}}^{-1}:\widetilde{{\varphi }_p}({\pi }^{-1}(U_p))\to {\mathbb{R}}^k\times {\varphi }_p(U_p),(c^1,c^2,...,c^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d})\mapsto (b^1,b^2,...,b^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$(b^1,b^2,...,b^k{)}^t=S^{-1}(c^1,c^2,...,c^k{)}^t$、ここで、$S^{-1}$のコンポーネントたちは$(p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である。したがって、$f$は各$b$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

$f^{-1}$のコンポーネントたち$\widetilde{{\varphi }_p}\circ f^{-1}\circ ({\varphi }_p,id{)}^{-1}\circ {\lambda }^{-1}:{\mathbb{R}}^k\times {\varphi }_p(U_p)\to \widetilde{{\varphi }_p}({\pi }^{-1}(U_p)),(b^1,b^2,...,b^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d})\mapsto (c^1,c^2,...,c^k,p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$は$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、$(c^1,c^2,...,c^k{)}^t=S(b^1,b^2,...,b^k{)}^t$、ここで、$S$のコンポーネントたちは$(p^{\prime 1},...,p^{\prime d})$に関して$C^{\mathrm{\infty }}$である。したがって、$f^{-1}$は各$f(b)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、$f$はディフェオモーフィックである。

したがって、$f$は$C^{\mathrm{\infty }}$トリビアライゼーションであり、$U$はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である。

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参考資料

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