ベクトルたちバンドル（束）に対して、\(C^\infty\)フレームはトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）上の\(C^\infty\)フレームの定義を知っている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）\(M\)、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）\(\pi: E \to M\)、任意のオープンサブセット（開部分集合）\(U \subseteq M\)に対して、任意の\(C^\infty\)フレームが\(U\)上方に存在する、もしも、\(U\)がトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(U\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であると仮定しよう。トリビアライゼイション\(\phi': \pi^{-1} (U) \to U \times \mathbb{R}^{d'}\)がある。\(U \times \mathbb{R}^{d'}\)上の自然な\(C^\infty\)フレーム\(e'_1, e'_2, ..., e'_{d'}\)に対して、インデュースト（誘導された）\(C^\infty\)フレーム\(e_i (p) := \phi'^{-1} (p, e'_i)\)がある、それは本当に各ファイバーにおいてベーシス（基底）を成す、なぜなら、任意のトリビアライゼイションは各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。\(e_i\)は本当に\(C^\infty\)セクション（断面）であることを証明しよう。任意のポイント\(p \in U\)の周りに、あるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_p \subseteq U\)がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって。\((\pi^{-1} (U'_p), \phi'')\), on \(\pi^{-1} (U)\)上に当該チャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションによってインデュースト（誘導された）チャートがある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。当該チャート上で、\(e_i (p)\)のコーディネート（座標）たちは\(\phi'' (e_i (p)) = (p^1, p^2, ..., p^d, 0, 0, ..., 1, ..., 0)\)、ここで、\(1\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)の中の\(i\)番目コンポーネント。当該コンポーネントたちは\(p^1, p^2, ..., p^d\)に関して\(C^\infty\)であるから、\(e_i\)は\(C^\infty\)セクション（断面）である。
\(U\)上方に任意の\(C^\infty\)フレーム\(s_1, s_2, ..., s_{d'}\)があると仮定しよう。任意のポイント\(b \in E\vert_U\)に対して、\(b = b^i s_i (p)\)、ここで、\(p = \pi (b)\)。マップ（写像）\(f: E\vert_U \to U \times \mathbb{R}^{d'}\)を定義しよう、\(f (b^i s_i (p)) = (p, b^1, b^2, ..., b^{d'})\)として。\(f\)は明らかにバイジェクティブ（全単射）である、したがって、インバース（逆）\(f^{-1}\)がある。\(f\)はファイバープリザービング（保持）である、各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\(f\)はディフェオモーフィズムであることを証明しよう。任意のポイント\(p \in U\)の周りに、あるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）\(U'_p \subset U\)がある、なぜなら、\(p\)の周りに、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があり、それは\(p\)の周りのあるチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）を包含している、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、あるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）は必ずしもチャートオープンサブセット（開部分集合）ではないが、任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上の任意のポイントにより小さいかもしれないチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があるという命題によって、そしてその\(U\)とのインターセクション（共通集合）は\(U'_p\)であろう。\(U'_p\)の上方に、インデュースト（誘導された）チャート\((\pi^{-1} (U'_p), \phi'')\)がある、任意のベクトルたちバンドル（束）に対して、任意のチャートトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）のトリビアライゼイションは自然なチャートマップ（写像）をインデュース（誘導）するという命題によって。当該チャート上で、\(\phi'' (s_i (p)) = (p^1, p^2, ..., p^{d}, {s_i (p)}^1, {s_i (p)}^2, ..., {s_i (p)}^{d'})\)。\(\phi'' (b) = \phi'' (b^i s_i (p)) = (\phi, id) \circ \phi' (b^i s_i (p)) = (\phi, id) \circ b^i \phi' (s_i (p))\)、ここで、\(\phi'\)は当該トリビアライゼイション、なぜなら、\(\phi'\)は各ファイバーにおいて'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）である、\(= (p^1, p^2, ..., p^d, b^i {s_i (p)}^1, b^i {s_i (p)}^2, ..., b^i {s_i (p)}^{d'}) := (p^1, p^2, ..., p^d, c^1, c^2, ..., c^{d'})\)。当該マトリックス（行列）を\(S (p) := [s_i (p)^j]\)と表記しよう、すると、\((c^1, c^2, ..., c^{d'})^t = S (b^1, b^2, ..., b^{d'})^t\)。\(S\)は当該ファイバーにおける当該トリビアライゼイションの'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の、\(\pi^{-1} (p)\)上の当該フレームベーシス（基底）および\(\{p\} \times \mathbb{R}^{d'}\)上の自然なベーシス（基底）に関してのコンポーネントたちトランスフォーメイション（変換）マトリックス（行列）であり、\(C^\infty\)であり、インバーティブル（可逆）であり、インバース（逆）は\(C^\infty\)である。他方で、\(U \times \mathbb{R}^{d'}\)上にチャート\((U'_p \times \mathbb{R}^{d'}, (\phi, id))\)があり、その上では、\(f (b)\)のコーディネート（座標）たちは\((p^1, p^2, ..., p^d, b^1, b^2, ..., b^{d'})\)である。したがって、\(f\)はコンポーネント（座標）たちの上で\((p^1, p^2, ..., p^d, c^1, c^2, ..., c^{d'}) \mapsto (p^1, p^2, ..., p^d, {S^{-1} (p)}^1_i c^i, {S^{-1} (p)}^2_i c^i, ..., {S^{-1} (p)}^{d'}_i c^i)\)である、それは\(C^\infty\).である。\(f^{-1}\)はコンポーネント（座標）たちの上で\((p^1, p^2, ..., p^d, b^1, b^2, ..., b^{d'}) \mapsto (p^1, p^2, ..., p^d, {S (p)}^1_i b^i, {S (p)}^2_i b^i, ..., {S (p)}^{d'}_i b^i)\)である、それは\(C^\infty\)である。したがって、\(f\)はディフェオモーフィズムである。
したがって、\(U\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）である。
