2023年11月26日日曜日

416: ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である

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ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明

話題


About: トポロジカルスペース（空間）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

本体

1: 記述


任意のトポロジカルスペース（空間）たちT1,T2、任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）f1:T1→T2に対して、f1によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）f1∗は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。

2: 証明


T1上の任意のコンティニュアス（連続）ループパスf:I→T1、そのホモトピックイクイバレンス（等値）クラス[f]に対して、f1∗([f])=[f1∘f]。T1上の以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）ループパスたちf,f′、つまり、[f]≠[f′]、に対して、[f1∘f]≠[f1∘f′]？[f1∘f]=[f1∘f′]であったと仮定しよう。f1はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、コンティニュアス（連続）インバース（逆）f1−1がある。[f1−1∘f1∘f]=[f]=[f1−1∘f1∘f′]=[f′]、矛盾。したがって、f1∗はインジェクティブ（単射）である。T2上の任意のコンティニュアス（連続）ループパスf″:I→T2、そのホモトピックイクイバレンス（等値）クラス[f″]に対して、[f1−1∘f″]があり、f1∗([f1−1∘f″])=[f1∘f1−1∘f″]=[f″]、したがって、f1∗はサージェクティブ（全射）である、したがって、バイジェクティブ（全単射）である。

したがって、f1∗は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。

参考資料
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