ホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のホメオモーフィズム（位相同形写像）\(f_1: T_1 \to T_2\)に対して、\(f_1\)によってインデュースト（誘導された）ファンダメンタルグループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）\({f_1}_*\)は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
2: 証明
\(T_1\)上の任意のコンティニュアス（連続）ループパス\(f: I \to T_1\)、そのホモトピックイクイバレンス（等値）クラス\([f]\)に対して、\({f_1}_* ([f]) = [f_1 \circ f]\)。\(T_1\)上の以下を満たす任意のコンティニュアス（連続）ループパスたち\(f, f'\)、つまり、\([f] \neq [f']\)、に対して、\([f_1 \circ f] \neq [f_1 \circ f']\)？\([f_1 \circ f] = [f_1 \circ f']\)であったと仮定しよう。\(f_1\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）であるから、コンティニュアス（連続）インバース（逆）\({f_1}^{-1}\)がある。\([{f_1}^{-1} \circ f_1 \circ f] = [f] = [{f_1}^{-1} \circ f_1 \circ f'] = [f']\)、矛盾。したがって、\({f_1}_*\)はインジェクティブ（単射）である。\(T_2\)上の任意のコンティニュアス（連続）ループパス\(f'': I \to T_2\)、そのホモトピックイクイバレンス（等値）クラス\([f'']\)に対して、\([{f_1}^{-1} \circ f'']\)があり、\({f_1}_* ([{f_1}^{-1} \circ f'']) = [f_1 \circ {f_1}^{-1} \circ f''] = [f'']\)、したがって、\({f_1}_*\)はサージェクティブ（全射）である、したがって、バイジェクティブ（全単射）である。
したがって、\({f_1}_*\)は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のバイジェクティブ（全単射）グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）は'グループ（群）たち - グループ（群）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
