\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）\(T\)、任意のサブセット（部分集合）\(S \subseteq T\)に対して、任意のポイント\(p \in T\)は\(S\)の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。\(p\)の任意のネイバーフッド（近傍）\(U_{p}\)に対して、以下を満たすあるポイント\(p_{1} \in U_{p} \cap S\)、つまり、\(p_{1} \neq p\)、がある。\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(U_{p, 1}\)、つまり、\(p_{1} \notin U_{p, 1}\)、がある、なぜなら、\(T\)は\(T_1\)スペース（空間）である。以下を満たすあるポイント\(p_{2} \in U_{p} \cap U_{p, 1} \cap S\)、つまり、\(p_{2} \neq p\)、がある。\(p_{1} \neq p_{2}\)、なぜなら、\(p_{1} \notin U_{p, 1}\)。\(p\)の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）\(U_{p, 2}\)、\(p_{2} \notin U_{p, 2}\)、がある。以下を満たすあるポイント\(p_{3} \in U_{p} \cap U_{p, 1} \cap U_{p, 2} \cap S\)、つまり、\(p_{3} \neq p\)、がある。\(p_{1}, p_{2} \neq p_{3}\)、なぜなら、\(p_{1}, p_{2} \notin U_{p, 1} \cap U_{p, 2}\)、等々と続く。結局、任意のナチュラルナンバー（自然数）\(i\)に対して、以下を満たすあるポイント\(p_{i} \in U_{p} \cap S\)、つまり、\(p, p_{1}, p_{2}, ..., p_{i - 1}\)と違う、がある。したがって、\(U_{p} \cap S\)は\(p\)を除いて少なくともカウンタブル（可算）にインフィニット（無限）数のポイントたちを持つ。
\(p\)は\(S\)の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。明らかに、\(p\)は\(S\)のアキューミュレーションポイント（集積点）である。
