\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）の\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）の\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全ての } T_1 \text{ トポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(t\): \(\in T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(t \in \{S \text{ の全ての } \omega \text{ -アキューミュレーションポイント（集積点）たち }\}\)
\(\iff\)
\(t \in \{S \text{ の全てのアキューミュレーションポイント（集積点）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）であると仮定する; ステップ2: \(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t\)を取り、\(t_1 \in U_t \cap (S \setminus \{t\})\)であることを見、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, 1}\)、つまり、\(t_1 \notin U_{t, 1}\)、を取り、\(t_2 \in U_t \cap U_{t, 1} \cap (S \setminus \{t\})\)であることを見る、等々と続く; ステップ3: \(t\)は\(S\)の\(\omega\)-アキュームレーションポイント（集積点）であると仮定する; ステップ4: \(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）であることを見る。
ステップ1:
\(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。
ステップ2:
\(U_t \subseteq T\)を\(t\)の任意のオープンネイバーフッド（開近傍）であるとしよう。
ある\(t_1 \in U_t \cap (S \setminus \{t\})\)がある、なぜなら、\(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）である。
\(t \neq t_1\)。
したがって、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, 1} \subseteq T\)、つまり、\(t_1 \notin U_{t, 1}\)、がある、なぜなら、\(T\)は\(T_1\)である。
\(U_t \cap U_{t, 1}\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、ある\(t_2 \in U_t \cap U_{t, 1} \cap (S \setminus \{t\})\)がある、なぜなら、\(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）である。
\(t_1 \neq t_2\)、なぜなら、\(t_2 \in U_{t, 1}\)、その一方で、\(t_1 \notin U_{t, 1}\)。
\(\{t_1, t_2\} \subseteq U_t \cap (S \setminus \{t\})\)。
\(t \neq t_2\)で、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, 2} \subseteq T\)、つまり、\(t_2 \notin U_{t, 2}\)、がある、なぜなら、\(T\)は\(T_1\)である。
ここまでのところで、ある互いに異なる\(\{t_1, t_2\}\)および以下を満たす\(\{U_{t, 1}, U_{t, 2}\}\)、つまり、\(\{t_1, t_2\} \subseteq U_t \cap (S \setminus \{t\})\)および\(t_1, t_2 \notin U_{t, 1} \cap U_{t, 2}\)、を得た。
ある互いに異なる\(\{t_1, ..., t_n\}\)および以下を満たす\(\{U_{t, 1}, ..., U_{t, n}\}\)、つまり、\(\{t_1, ..., t_n\} \subseteq U_t \cap (S \setminus \{t\})\)および\(t_1, ..., t_n \notin U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, n}\)、があると仮定しよう。
\(U_t \cap U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, n}\)は\(t\)のオープンネイバーフッド（開近傍）である、したがって、ある\(t_{n + 1} \in U_t \cap U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, n} \cap (S \setminus \{t\})\)がある、なぜなら、\(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）である。
\(\{t_1, ..., t_{n + 1}\}\)は互いに異なる、なぜなら、\(t_{n + 1} \in U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, n}\)、その一方で、\(t_j \notin U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, n}\)、各\(j \in \{1, ..., n\}\)に対して。
\(t \neq t_{n + 1}\)で、\(t\)の以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_{t, n + 1} \subseteq T\)、つまり、\(t_{n + 1} \notin U_{t, n + 1}\)、がある、なぜなら、\(T\)は\(T_1\)である。
したがって、互いに異なる\(\{t_1, ..., t_{n + 1}\}\)および以下を満たす\(\{U_{t, 1}, ..., U_{t, n + 1}\}\)、つまり、\(\{t_1, ..., t_{n + 1}\} \subseteq U_t \cap (S \setminus \{t\})\)および\(t_1, ..., t_{n + 1} \notin U_{t, 1} \cap ... \cap U_{t, n + 1}\)、を得た。
したがって、\(U_t \cap (S \setminus \{t\})\)は、少なくともカウンタブル（可算）にインフィニット（無限）なポイントたちを持つ。
したがって、\(t\)は\(S\)の\(\omega\)-アキュームレーションポイント（集積点）である。
ステップ3:
\(t\)は\(S\)の\(\omega\)-アキュームレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。
ステップ4:
\(t\)の各オープンネイバーフッド（開近傍）\(U_t \subseteq T\)に対して、\(U_t \cap (S \setminus \{t\}) \neq \emptyset\)。
したがって、\(t\)は\(S\)のアキュームレーションポイント（集積点）である。
