401: T_1トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の\omegaアキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って

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$T_1$トポロジカルスペース（空間）上にて、ポイントはサブセット（部分集合）の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、それがサブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、$T_1$トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$T_1$トポロジカルスペース（空間）上にて、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$T_1$トポロジカルスペース（空間）$T$、任意のサブセット（部分集合）$S\subseteq T$に対して、任意のポイント$p\in T$は$S$の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。$p$の任意のネイバーフッド（近傍）$U_p$に対して、以下を満たすあるポイント$p_1\in U_p\cap S$、つまり、$p_1\ne p$、がある。$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_{p,1}$、つまり、$p_1\notin U_{p,1}$、がある、なぜなら、$T$は$T_1$スペース（空間）である。以下を満たすあるポイント$p_2\in U_p\cap U_{p,1}\cap S$、つまり、$p_2\ne p$、がある。$p_1\ne p_2$、なぜなら、$p_1\notin U_{p,1}$。$p$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_{p,2}$、$p_2\notin U_{p,2}$、がある。以下を満たすあるポイント$p_3\in U_p\cap U_{p,1}\cap U_{p,2}\cap S$、つまり、$p_3\ne p$、がある。$p_1,p_2\ne p_3$、なぜなら、$p_1,p_2\notin U_{p,1}\cap U_{p,2}$、等々と続く。結局、任意のナチュラルナンバー（自然数）$i$に対して、以下を満たすあるポイント$p_i\in U_p\cap S$、つまり、$p,p_1,p_2,...,p_{i-1}$と違う、がある。したがって、$U_p\cap S$は$p$を除いて少なくともカウンタブル（可算）にインフィニット（無限）数のポイントたちを持つ。

$p$は$S$の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）であると仮定しよう。明らかに、$p$は$S$のアキューミュレーションポイント（集積点）である。

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参考資料

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