402: メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は\omegaアキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って

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メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明

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話題

About: メトリックスペース（計量付き空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
• 読者は、サブセット（部分集合）の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
• 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
• 読者は、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題を認めている。
• 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のメトリックスペース（計量付き空間）$T$はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）$S$がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）$p\in T$を持つ場合、そしてその場合に限って。

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2: 証明

$S$はある$p$を持つと仮定しよう。$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題。$T$はコンパクトである、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

$T$はコンパクトであると仮定しよう。$T$はカウンタブリー（可算に）コンパクトである。各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）$S$はある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）$p\in T$を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって。

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3: 注

当命題中の"$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）"はアキューミュレーションポイント（集積点）で置き換えることができる、なぜなら、任意のメトリックスペース（空間）は$T_1$スペース（空間）であり、任意の$T_1$トポロジカルスペース（空間）上にて、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）の$\omega$アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、という命題が成り立つ。

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参考資料

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