メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、サブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のメトリックスペース（計量付き空間）\(T\)はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）\(S\)がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）\(p \in T\)を持つ場合、そしてその場合に限って。
2: 証明
\(S\)はある\(p\)を持つと仮定しよう。\(T\)はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題。\(T\)はコンパクトである、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はファーストカウンタブル（可算）であるという命題、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、それがシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(T\)はコンパクトであると仮定しよう。\(T\)はカウンタブリー（可算に）コンパクトである。各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）\(S\)はある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）\(p \in T\)を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
3: 注
当命題中の"\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）"はアキューミュレーションポイント（集積点）で置き換えることができる、なぜなら、任意のメトリックスペース（空間）は\(T_1\)スペース（空間）であり、任意の\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）の\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、という命題が成り立つ。
