メトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）は\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）の\(\omega\)-アキュームレーションポイント（集積点）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題を認めている。
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）であり各ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して当該数半径の何らか有限数のオープンボール（開球）たちのセット（集合）で当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）をカバーするものがある場合、そしてその場合に限って、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はコンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）はある\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）を持つ場合、そしてその場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)で、当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(M \in \{\text{ 全てのコンパクトトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(\iff\)
\(\forall S \in \{M \text{ の全てのインフィニット（無限）サブセット（部分集合）たち }\} (\exists m \in \{S \text{ の全ての } \omega \text{ -アキュームレーションポイント（集積点）たち }\})\)
//
2: 注
本命題における"\(\omega\)-アキュームレーションポイント（集積点）"は、'アキュームレーションポイント（集積点）'で置き換えることができる、なぜなら、任意のメトリックスペース（計量付き空間）はある\(T_1\)スペース（空間）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）で当該メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものは\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）であるという命題によって、その一方で、任意の\(T_1\)トポロジカルスペース（空間）上にて、任意のポイントは任意のサブセット（部分集合）の\(\omega\)-アキューミュレーションポイント（集積点）である、もしも、当該ポイントは当該サブセット（部分集合）のアキューミュレーションポイント（集積点）である場合、そしてその場合に限って、という命題が成立する。
3: 証明
全体戦略: 任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）であり各ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して当該数半径の何らか有限数のオープンボール（開球）たちのセット（集合）で当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）をカバーするものがある場合、そしてその場合に限って、という命題、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題を適用する; ステップ1: 各\(S\)はある\(m\)を持つと仮定する; ステップ2: \(M\)はコンパクトであることを見る; ステップ3: \(M\)はコンパクトであると仮定する; ステップ4: 各\(S\)はある\(m\)を持つことを見る。
ステップ1:
\(S\)はある\(m\)を持つと仮定しよう。
ステップ2:
\(M\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(M\)はファーストカウンタブル（可算）である、任意のメトリックスペース（計量付き空間）でインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものはファーストカウンタブル（可算）であるという命題によって。
\(M\)はシーケンシャル（列的）にコンパクトである、任意のファーストカウンタブルトポロジカルスペース（空間）はシーケンシャリー（シーケンス的に）コンパクトである、もしも、当該スペース（空間）がカウンタブリー（可算に）コンパクトである場合、という命題によって。
\(M\)はコンパクトである、任意のメトリックスペース（計量付き空間）および任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）はコンパクトである、もしも、当該サブセット（部分集合）の中への各シーケンス（列）が当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）内でコンバージ（収束）するあるサブシーケンス（部分列）を持つ場合、そしてその場合に限って、もしも、当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）がコンプリート（完備）であり各ポジティブ（正）リアルナンバー（実数）に対して当該数半径の何らか有限数のオープンボール（開球）たちのセット（集合）で当該サブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）をカバーするものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
ステップ3:
\(M\)はコンパクトであると仮定しよう。
ステップ4:
\(M\)はカウンタブル（可算）にコンパクトである、明らかに。
各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）\(S\)はある\(\omega\)-アキュームレーションポイント（集積点）\(m \in M\)を持つ、任意のトポロジカルスペース（空間）はカウンタブリー（可算に）コンパクトである、もしも、各インフィニット（無限）サブセット（部分集合）がある\(\omega\)アキューミュレーションポイント（集積点）を持っている場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
