2023年12月24日日曜日

440: nディメンジョナル(次元)ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)内のローテーション(回転)は(n - 2)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)アクシス(軸)に沿った同一の2ディメンジョナル(次元)ローテーション(回転)たちである

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nディメンジョナル(次元)ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)内のローテーション(回転)は(n2)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)アクシス(軸)に沿った同一の2ディメンジョナル(次元)ローテーション(回転)たちであることの記述/証明

話題


About: ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、nディメンジョナル(次元)ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)内の任意のローテーション(回転)は任意の(n2)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)アクシス(軸)に沿った任意の同一2ディメンジョナル(次元)ローテーション(回転)たちであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。


本体


1: 記述


任意のユークリディアンベクトルたちスペース(空間)Rnに対して、Rn内の任意のローテーション(回転)は任意の(n2)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)アクシス(軸)に沿った任意の同一2ディメンジョナル(次元)ローテーション(回転)たちである。


2: 注


これは、厳密な証明というものではなくて、任意の高ディメンジョナル(次元)ユークリディアンスペース(空間)内のローテーション(回転)とは何であるかを直感的に理解することである。


3: 証明


任意のローテーション(回転)はある種のマップ(写像)f:RnRnである。

常に、オリジン(原点)を中心としたローテーション(回転)たち、それが意味するのは、f(0)=0、のことを考えよう。別のポイントp0Rnを中心とした任意のローテーション(回転)は、f1ff、ここで、f:RnRn, ppp0、トランスレーション(移動)、であるとみなすことができる。

R3内の任意のローテーション(回転)はあるアクシス(軸)の周りのローテーションであるが、その軸はライン(直線)(オリジン(原点)を通過するもの、そのことにはこれ以降言及しない、なぜなら、私たちのライン(直線)たちは常にそうである、なぜなら、私たちは、オリジン(原点)を中心としたローテーション(回転)たちについてのみを考えている)。

私たちは、ローテーション(回転)を、R3内のローテーション(回転)として想像しがちであるので、そのアクシス(軸)としてあるライン(直線)を想像しがちである。

しかし、R2内の任意のローテーション(回転)に対するアクシス(軸)は何であるか?R2に垂直なライン(直線)なのか?しかし、当該ライン(直線)はR2内にない、それは問題であるように思われる: R2スペース(空間)を考えている時に、なぜ、そのアンビエント(周囲)R3スペース(空間)を導入しなければならないのか?少なくとも、R3内のローテーション(回転)たちを考えるためにアンビエント(周囲)R4を導入する必要はなかった、それは、シンメトリック(対称的)でないように思われる。

'アクシス(軸)'とは何であるか、実のところ?任意のローテーション(回転)のアクシス(軸)とは、当該ローテーション(回転)によって固定される全ポイントたちのセット(集合)である。

実のところ、R2内の任意のローテーション(回転)のアクシス(軸)は、先述のR3内ライン(直線)ではなく、オリジン(原点)、ポイント、である。

R4内の任意のローテーション(回転)のアクシス(軸)は何であるか?(x1,x2,x3,x4)(cosθx1sinθx2,sinθx1+cosθx2,x3,x4)はローテーション(回転)であるが、それはx3,x4コーディネート(座標)たちを固定する、それが意味するのは、固定されるセット(集合)は{(0,0)}×R2であり、それがアクシス(軸)である。したがって、R4内の任意のローテーション(回転)のアクシス(軸)は、R4のある2ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)である。

一般的には、Rn内の任意のローテーションのアクシス(軸)は、Rnのある(n2)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)である。

R3内のあるローテーションのことを考えよう。当該ローテーション(回転)はアクシス(軸)を(32)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)、あるライン(直線)、として持っている。当該アクシス(軸)上の各ポイントに、アクシス(軸)に垂直な(3(32)=2)ディメンジョナル(次元)プレーン(平面)がある。そうした各プレーン(平面)に対して、アクシス(軸)とのインターセクション(交点)を中心としたローテーション(回転)を任意の同一角度で行なおう、それが、R3内の当該ローテーションに他ならない。R3内の任意のローテーションのアクシス(軸)がライン(直線)であるという理由は、32=1であることであって、アクシス(軸)一般がライン(直線)である(それは間違っている)ということではない。

Rn内の任意のローテーションのことを考えよう。当該ローテーション(回転)はアクシス(軸)をある(n2)ディメンジョナル(次元)サブスペース(部分空間)として持っている。当該アクシス(軸)上の各ポイントにおいて、アクシス(軸)に垂直な(n(n2)=2)ディメンジョナル(次元)プレーン(平面)がある。そうした各プレーン(平面)に対して、アクシス(軸)とのインターセクション(交点)を中心としたローテーション(回転)を任意の同一角度で行なおう、それが、Rn内の当該ローテーションに他ならない。


参考資料


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