440: nディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内のローテーション（回転）は(n - 2)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った同一の2ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちである

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

$n$ディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内のローテーション（回転）は$(n-2)$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った同一の$2$ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちであることの記述/証明

---

話題

About: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 注
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、$n$ディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内の任意のローテーション（回転）は任意の$(n-2)$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った任意の同一$2$ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちであるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

---

本体

---

1: 記述

任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）${\mathbb{R}}^n$に対して、${\mathbb{R}}^n$内の任意のローテーション（回転）は任意の$(n-2)$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った任意の同一2ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちである。

---

2: 注

これは、厳密な証明というものではなくて、任意の高ディメンジョナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）内のローテーション（回転）とは何であるかを直感的に理解することである。

---

3: 証明

任意のローテーション（回転）はある種のマップ（写像）$f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$である。

常に、オリジン（原点）を中心としたローテーション（回転）たち、それが意味するのは、$f(0)=0$、のことを考えよう。別のポイント$p_0\in {\mathbb{R}}^n$を中心とした任意のローテーション（回転）は、$f^{\prime -1}\circ f\circ f^{\prime }$、ここで、$f^{\prime }:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$, $p\mapsto p-p_0$、トランスレーション（移動）、であるとみなすことができる。

${\mathbb{R}}^3$内の任意のローテーション（回転）はあるアクシス（軸）の周りのローテーションであるが、その軸はライン（直線）（オリジン（原点）を通過するもの、そのことにはこれ以降言及しない、なぜなら、私たちのライン（直線）たちは常にそうである、なぜなら、私たちは、オリジン（原点）を中心としたローテーション（回転）たちについてのみを考えている）。

私たちは、ローテーション（回転）を、${\mathbb{R}}^3$内のローテーション（回転）として想像しがちであるので、そのアクシス（軸）としてあるライン（直線）を想像しがちである。

しかし、${\mathbb{R}}^2$内の任意のローテーション（回転）に対するアクシス（軸）は何であるか？${\mathbb{R}}^2$に垂直なライン（直線）なのか？しかし、当該ライン（直線）は${\mathbb{R}}^2$内にない、それは問題であるように思われる: ${\mathbb{R}}^2$スペース（空間）を考えている時に、なぜ、そのアンビエント（周囲）${\mathbb{R}}^3$スペース（空間）を導入しなければならないのか？少なくとも、${\mathbb{R}}^3$内のローテーション（回転）たちを考えるためにアンビエント（周囲）${\mathbb{R}}^4$を導入する必要はなかった、それは、シンメトリック（対称的）でないように思われる。

'アクシス（軸）'とは何であるか、実のところ？任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）とは、当該ローテーション（回転）によって固定される全ポイントたちのセット（集合）である。

実のところ、${\mathbb{R}}^2$内の任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）は、先述の${\mathbb{R}}^3$内ライン（直線）ではなく、オリジン（原点）、ポイント、である。

${\mathbb{R}}^4$内の任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）は何であるか？$(x^1,x^2,x^3,x^4)\mapsto (cos\theta x^1-sin\theta x^2,sin\theta x^1+cos\theta x^2,x^3,x^4)$はローテーション（回転）であるが、それは$x^3,x^4$コーディネート（座標）たちを固定する、それが意味するのは、固定されるセット（集合）は$\{(0,0)\}\times {\mathbb{R}}^2$であり、それがアクシス（軸）である。したがって、${\mathbb{R}}^4$内の任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）は、${\mathbb{R}}^4$のある$2$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）である。

一般的には、${\mathbb{R}}^n$内の任意のローテーションのアクシス（軸）は、${\mathbb{R}}^n$のある$(n-2)$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）である。

${\mathbb{R}}^3$内のあるローテーションのことを考えよう。当該ローテーション（回転）はアクシス（軸）を$(3-2)$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）、あるライン（直線）、として持っている。当該アクシス（軸）上の各ポイントに、アクシス（軸）に垂直な$(3-(3-2)=2)$ディメンジョナル（次元）プレーン（平面）がある。そうした各プレーン（平面）に対して、アクシス（軸）とのインターセクション（交点）を中心としたローテーション（回転）を任意の同一角度で行なおう、それが、${\mathbb{R}}^3$内の当該ローテーションに他ならない。${\mathbb{R}}^3$内の任意のローテーションのアクシス（軸）がライン（直線）であるという理由は、$3-2=1$であることであって、アクシス（軸）一般がライン（直線）である（それは間違っている）ということではない。

${\mathbb{R}}^n$内の任意のローテーションのことを考えよう。当該ローテーション（回転）はアクシス（軸）をある$(n-2)$ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）として持っている。当該アクシス（軸）上の各ポイントにおいて、アクシス（軸）に垂直な$(n-(n-2)=2)$ディメンジョナル（次元）プレーン（平面）がある。そうした各プレーン（平面）に対して、アクシス（軸）とのインターセクション（交点）を中心としたローテーション（回転）を任意の同一角度で行なおう、それが、${\mathbb{R}}^n$内の当該ローテーションに他ならない。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>