\(n\)ディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内のローテーション（回転）は\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った同一の\(2\)ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちであることの記述/証明
話題
About: ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(n\)ディメンジョナル（次元）ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）内の任意のローテーション（回転）は任意の\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った任意の同一\(2\)ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）\(\mathbb{R}^n\)に対して、\(\mathbb{R}^n\)内の任意のローテーション（回転）は任意の\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）アクシス（軸）に沿った任意の同一2ディメンジョナル（次元）ローテーション（回転）たちである。
2: 注
これは、厳密な証明というものではなくて、任意の高ディメンジョナル（次元）ユークリディアンスペース（空間）内のローテーション（回転）とは何であるかを直感的に理解することである。
3: 証明
任意のローテーション（回転）はある種のマップ（写像）\(f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\)である。
常に、オリジン（原点）を中心としたローテーション（回転）たち、それが意味するのは、\(f (0) = 0\)、のことを考えよう。別のポイント\(p_0 \in \mathbb{R}^n\)を中心とした任意のローテーション（回転）は、\(f'^{-1} \circ f \circ f'\)、ここで、\(f': \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n\), \(p \mapsto p - p_0\)、トランスレーション（移動）、であるとみなすことができる。
\(\mathbb{R}^3\)内の任意のローテーション（回転）はあるアクシス（軸）の周りのローテーションであるが、その軸はライン（直線）（オリジン（原点）を通過するもの、そのことにはこれ以降言及しない、なぜなら、私たちのライン（直線）たちは常にそうである、なぜなら、私たちは、オリジン（原点）を中心としたローテーション（回転）たちについてのみを考えている）。
私たちは、ローテーション（回転）を、\(\mathbb{R}^3\)内のローテーション（回転）として想像しがちであるので、そのアクシス（軸）としてあるライン（直線）を想像しがちである。
しかし、\(\mathbb{R}^2\)内の任意のローテーション（回転）に対するアクシス（軸）は何であるか？\(\mathbb{R}^2\)に垂直なライン（直線）なのか？しかし、当該ライン（直線）は\(\mathbb{R}^2\)内にない、それは問題であるように思われる: \(\mathbb{R}^2\)スペース（空間）を考えている時に、なぜ、そのアンビエント（周囲）\(\mathbb{R}^3\)スペース（空間）を導入しなければならないのか？少なくとも、\(\mathbb{R}^3\)内のローテーション（回転）たちを考えるためにアンビエント（周囲）\(\mathbb{R}^4\)を導入する必要はなかった、それは、シンメトリック（対称的）でないように思われる。
'アクシス（軸）'とは何であるか、実のところ？任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）とは、当該ローテーション（回転）によって固定される全ポイントたちのセット（集合）である。
実のところ、\(\mathbb{R}^2\)内の任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）は、先述の\(\mathbb{R}^3\)内ライン（直線）ではなく、オリジン（原点）、ポイント、である。
\(\mathbb{R}^4\)内の任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）は何であるか？\((x^1, x^2, x^3, x^4) \mapsto (cos \theta x^1 - sin \theta x^2, sin \theta x^1 + cos \theta x^2, x^3, x^4)\)はローテーション（回転）であるが、それは\(x^3, x^4\)コーディネート（座標）たちを固定する、それが意味するのは、固定されるセット（集合）は\(\{(0, 0)\} \times \mathbb{R}^2\)であり、それがアクシス（軸）である。したがって、\(\mathbb{R}^4\)内の任意のローテーション（回転）のアクシス（軸）は、\(\mathbb{R}^4\)のある\(2\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）である。
一般的には、\(\mathbb{R}^n\)内の任意のローテーションのアクシス（軸）は、\(\mathbb{R}^n\)のある\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）である。
\(\mathbb{R}^3\)内のあるローテーションのことを考えよう。当該ローテーション（回転）はアクシス（軸）を\((3 - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）、あるライン（直線）、として持っている。当該アクシス（軸）上の各ポイントに、アクシス（軸）に垂直な\((3 - (3 - 2) = 2)\)ディメンジョナル（次元）プレーン（平面）がある。そうした各プレーン（平面）に対して、アクシス（軸）とのインターセクション（交点）を中心としたローテーション（回転）を任意の同一角度で行なおう、それが、\(\mathbb{R}^3\)内の当該ローテーションに他ならない。\(\mathbb{R}^3\)内の任意のローテーションのアクシス（軸）がライン（直線）であるという理由は、\(3 - 2 = 1\)であることであって、アクシス（軸）一般がライン（直線）である（それは間違っている）ということではない。
\(\mathbb{R}^n\)内の任意のローテーションのことを考えよう。当該ローテーション（回転）はアクシス（軸）をある\((n - 2)\)ディメンジョナル（次元）サブスペース（部分空間）として持っている。当該アクシス（軸）上の各ポイントにおいて、アクシス（軸）に垂直な\((n - (n - 2) = 2)\)ディメンジョナル（次元）プレーン（平面）がある。そうした各プレーン（平面）に対して、アクシス（軸）とのインターセクション（交点）を中心としたローテーション（回転）を任意の同一角度で行なおう、それが、\(\mathbb{R}^n\)内の当該ローテーションに他ならない。
