ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( d\): \(\in \mathbb{N} \setminus \{0\}\)
\(*\mathbb{R}^d\): \(= \text{ 当該ユークリディアンセット（集合） }\)で、下で指定される\(\mathbb{R}\)-スカラーマルチプリケーション（乗法）およびアディション（加法）を持つもの、\(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall r = (r^1, ..., r^d) \in \{\mathbb{R}^d\}, \forall s \in \mathbb{R} (s r = (s r^1, ..., s r^d))\)
\(\land\)
\(\forall r = (r^1, ..., r^d), r' = (r'^1, ..., r'^d) \in \{\mathbb{R}^d\} (r + r' = (r^1 + r'^1, ..., r^d + r'^d))\)
//
2: 注
\(\mathbb{R}^d\)が\(\mathbb{R}\)ベクトルたちスペース（空間）であるためのコンディションたちを満たしていることはほとんど明らかであろう: それは、当該スカラーマルチプリケーション（乗法）および当該アディション（加法）下で閉じている; \(0 = (0, ..., 0) \in \mathbb{R}^d\); \((r^1, ..., r^d)\)のアディティブ（加法）インバース（逆）は\((- r^1, ..., - r^d)\)である; \(1 (r^1, ..., r^d) = (r^1, ..., r^d)\)（実のところ、これは、'ベクトルたちスペース（空間）'の原型である）、したがって、私たちは、堅牢なチェックは省く。
\(\mathbb{R}^n\)は暗黙にいくつかのカノニカル（正典）ストラクチャー（構造）たち（ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）ストラクチャー（構造）を含む）を持つと仮定されがちだが、必ずしもそうではない、\(\mathbb{R}^n\)はいくつか異なるストラクチャー（構造）たちを持つかもしれないことに留意しておくことは重要である。
