ドメイン（定義域）のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のドメイン（定義域）の任意のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のトポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）\(f: T_1 \to T_2\)、任意のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）\(T_3 \subseteq T_1\)に対して、イメージ（像）\(f (T_3)\)は\(T_2\)上でパスコネクテッド（連結された）である。
2: 証明
任意のポイントたち\(p_1, p_2 \in f (T_3)\)に対して、以下を満たすあるパス\(\lambda: [0, r] \to f (T_3)\)、つまり、\(p_1 = \lambda (0)\)および\(p_2 = \lambda (r)\)、があるか？\(f^{-1} (p_i) \cap T_3\)から任意のポイントを\(p'_i\)として取ることができる。\(T_3\)パスコネクテッド（連結された）であるから、以下を満たすあるパス\(\lambda': [0, 1] \to T_3\)、つまり、\(\lambda' (0) = p'_1\)および\(\lambda' (1) = p'_2\)、がある。\(\lambda:= f \vert_{T_3} \circ \lambda': [0, 1] \to T_3 \to f (T_3)\)を定義しよう、それは、コンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として（\(f \vert_{T_3}\)はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって）、そして、\(\lambda (0) = p_1\)および\(\lambda (1) = p_2\)。
3: 注
もしも、当該ドメイン（定義域）がパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）である場合、ドメイン（定義域）はそれ自身のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）である、したがって、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のイメージ（像）はパスコネクテッド（連結された）である。
