439: ドメイン（定義域）のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）である

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ドメイン（定義域）のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のコンティニュアス（連続）イメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）であることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 証明
• 3: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、パスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
• 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）のドメイン（定義域）の任意のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）のイメージ（像）はコドメイン（余域）上でパスコネクテッド（連結された）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意のトポロジカルスペース（空間）たち$T_1,T_2$、任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）$f:T_1\to T_2$、任意のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）$T_3\subseteq T_1$に対して、イメージ（像）$f(T_3)$は$T_2$上でパスコネクテッド（連結された）である。

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2: 証明

任意のポイントたち$p_1,p_2\in f(T_3)$に対して、以下を満たすあるパス$\lambda :[0,r]\to f(T_3)$、つまり、$p_1=\lambda (0)$および$p_2=\lambda (r)$、があるか？$f^{-1}(p_i)\cap T_3$から任意のポイントを$p_i^{\prime }$として取ることができる。$T_3$パスコネクテッド（連結された）であるから、以下を満たすあるパス${\lambda }^{\prime }:[0,1]\to T_3$、つまり、${\lambda }^{\prime }(0)=p_1^{\prime }$および${\lambda }^{\prime }(1)=p_2^{\prime }$、がある。$\lambda :=f{|}_{T_3}\circ {\lambda }^{\prime }:[0,1]\to T_3\to f(T_3)$を定義しよう、それは、コンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）マップ（写像）たちのコンポジション（合成）として（$f{|}_{T_3}$はコンティニュアス（連続）である、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって）、そして、$\lambda (0)=p_1$および$\lambda (1)=p_2$。

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3: 注

もしも、当該ドメイン（定義域）がパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）である場合、ドメイン（定義域）はそれ自身のパスコネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）である、したがって、任意のパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）のイメージ（像）はパスコネクテッド（連結された）である。

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参考資料

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