453: ポイントにおいてC^\inftyなマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）はポイントイメージ（像）においてC^\inftyである

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ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$なマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）はポイントイメージ（像）において$C^{\mathrm{\infty }}$であることの記述/証明

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$なマップ（写像）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち間の、ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$な任意のマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）は当該ポイントイメージ（像）において$C^{\mathrm{\infty }}$であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。

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本体

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1: 記述

任意の$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）たち$M_1,M_2$、任意のポイント$p\in M_1$、$p$において$C^{\mathrm{\infty }}$な任意のマップ（写像）$f:M_1\to M_2$、以下を満たす任意のチャートたち$(U_1\subseteq M_1,{\varphi }_1)$および$(U_2\subseteq M_2,{\varphi }_2)$、つまり、$f(U_1)\subseteq U_2$、に対して、当該チャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）$\tilde{f}={\varphi }_2\circ f\circ {{\varphi }_1}^{-1}:{\varphi }_1(U_1)\to {\varphi }_2(U_2)$は${\varphi }_1(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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2: 注

ポイントにおいて$C^{\mathrm{\infty }}$なマップ（写像）の定義は、当該ドメイン（定義域）上の当該ポイントの周りのあるチャートおよび当該コドメイン（余域）上の対応するポイントの周りのあるチャートで、それらに対するコーディネート（座標）たちファンクション（関数）が当該ポイントイメージ（像）において（必ずしもチャートレンジ（値域）全体上においてではなく）$C^{\mathrm{\infty }}$であるものの存在のみを規定している、また、それは、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）上の任意のチャートたちについてのものではない。

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3: 証明

$p$の周りのあるチャート$(U_p\subseteq M_1,{\varphi }_p)$および$f(p)$の周りのあるチャート$(U_{f(p)}\subseteq M_2,{\varphi }_{f(p)})$で以下を満たすものたち、つまり、$f(U_p)\subseteq U_{f(p)}$で、${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}:{\varphi }_p(U_p)\to {\varphi }_{f(p)}(U_{f(p)})$は$\varphi (p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、がある。

$\tilde{f}{|}_{{\varphi }_1(U_1\cap U_p)}={\varphi }_2\circ f\circ {{\varphi }_1}^{-1}{|}_{{\varphi }_1(U_1\cap U_p)}={\varphi }_2\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}\circ {\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}\circ {\varphi }_p\circ {{\varphi }_1}^{-1}{|}_{{\varphi }_1(U_1\cap U_p)}$は${\varphi }_1(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である、なぜなら、${\varphi }_p\circ {{\varphi }_1}^{-1}$は${\varphi }_1(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であり、${\varphi }_{f(p)}\circ f\circ {{\varphi }_p}^{-1}$は${\varphi }_p(p)$において$C^{\mathrm{\infty }}$であり、${\varphi }_2\circ {{\varphi }_{f(p)}}^{-1}$は${\varphi }_{f(p)}(f(p))$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

したがって、$\tilde{f}$は${\varphi }_1(p)\in {\varphi }_1(U_1)$において$C^{\mathrm{\infty }}$である。

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参考資料

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