ポイントにおいて\(C^\infty\)なマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）はポイントイメージ（像）において\(C^\infty\)であることの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポイントにおいて\(C^\infty\)なマップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち間の、ポイントにおいて\(C^\infty\)な任意のマップ（写像）に対して、任意のチャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）は当該ポイントイメージ（像）において\(C^\infty\)であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意の\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）たち\(M_1, M_2\)、任意のポイント\(p \in M_1\)、\(p\)において\(C^\infty\)な任意のマップ（写像）\(f: M_1 \to M_2\)、以下を満たす任意のチャートたち\((U_1 \subseteq M_1, \phi_1)\)および\((U_2 \subseteq M_2, \phi_2)\)、つまり、\(f (U_1) \subseteq U_2\)、に対して、当該チャートたちによるコーディネート（座標）たちファンクション（関数）\(\tilde{f} = \phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1}: \phi_1 (U_1) \to \phi_2 (U_2)\)は\(\phi_1 (p)\)において\(C^\infty\)である。
2: 注
ポイントにおいて\(C^\infty\)なマップ（写像）の定義は、当該ドメイン（定義域）上の当該ポイントの周りのあるチャートおよび当該コドメイン（余域）上の対応するポイントの周りのあるチャートで、それらに対するコーディネート（座標）たちファンクション（関数）が当該ポイントイメージ（像）において（必ずしもチャートレンジ（値域）全体上においてではなく）\(C^\infty\)であるものの存在のみを規定している、また、それは、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）上の任意のチャートたちについてのものではない。
3: 証明
\(p\)の周りのあるチャート\((U_p \subseteq M_1, \phi_p)\)および\(f (p)\)の周りのあるチャート\((U_{f (p)} \subseteq M_2, \phi_{f (p)})\)で以下を満たすものたち、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)で、\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi_p}^{-1}: \phi_p (U_p) \to \phi_{f (p)} (U_{f (p)})\)は\(\phi (p)\)において\(C^\infty\)である、がある。
\(\tilde{f} \vert_{\phi_1 (U_1 \cap U_p)} = \phi_2 \circ f \circ {\phi_1}^{-1} \vert_{\phi_1 (U_1 \cap U_p)} = \phi_2 \circ {\phi_{f (p)}}^{-1} \circ \phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi_p}^{-1} \circ \phi_p \circ {\phi_1}^{-1} \vert_{\phi_1 (U_1 \cap U_p)}\)は\(\phi_1 (p)\)において\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\phi_p \circ {\phi_1}^{-1}\)は\(\phi_1 (p)\)において\(C^\infty\)であり、\(\phi_{f (p)} \circ f \circ {\phi_p}^{-1}\)は\(\phi_p (p)\)において\(C^\infty\)であり、\(\phi_2 \circ {\phi_{f (p)}}^{-1}\)は\(\phi_{f (p)} (f (p))\)において\(C^\infty\)である。
したがって、\(\tilde{f}\)は\(\phi_1 (p) \in \phi_1 (U_1)\)において\(C^\infty\)である。
