カバリングマップ（写像）に対して、パスのユニークなリフトが、パスドメイン（定義域）上のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、コンティニュアス（連続）マップ（写像）の、カバリングマップ（写像）に関してのリフトの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題を認めている。
- 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）の任意の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のパスのユニークなリフトが、当該パスドメイン（定義域）上の任意のポイントのパスイメージ（像）のカバリングマップ（写像）プリイメージ（前像）の中の各ポイントに対してあるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義の一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題の一覧があります。
本体
1: 記述
任意のコネクテッド（連結された）でローカルにパスコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）たち\(T_1, T_2\)、任意のカバリングマップ（写像）\(\pi: T_1 \to T_2\)、それが意味するのは、\(\pi\)はコンティニュアス（連続）でサージェクティブ（全射）で任意のポイント\(p \in T_2\)の周りにあるネイバーフッド（近傍）\(N_p \subseteq T_2\)で\(\pi\)によってイーブンにカバーされているものがある、任意のクローズド（閉）インターバル\(T_3 := [r_1, r_2]\)、任意のパス\(f: T_3 \to T_2\)に対して、任意のポイント\(p_0 \in T_3\)および各ポイント\(p'_0 \in \pi^{-1} (f (p_0))\)に対して、\(f\)のユニークなリフト\(f'\)で、\(f' (p_0) = p'_0\)を満たすものがある。
2: 証明
サブスペース（部分空間）\(\pi^{-1} (N_p)\)は複数のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち、それぞれ\({\pi^{-1} (N_p)}_\alpha\)と表記される、ここで、\(\alpha \in A_p\)、ここで、\(A_p\)はアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスたちセット（集合）、からなるかもしれない。
あるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T_2\)を\(N_p\)として取ることができる、なぜなら、もしも、\(N_p\)がオープン（開）でなければ、あるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq N_p\)があり、それは、各\({\pi^{-1} (U_p)}_\alpha\)へ\(\pi_{p, \alpha} := \pi\vert_{{\pi^{-1} (U_p)}_\alpha}: {\pi^{-1} (U_p)}_\alpha \to U_p\)によってホメオモーフィック（位相同形写像）である、なぜなら、\(\pi_{p, \alpha}\)は明らかにバイジェクティブ（全単射）であり、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）をそれぞれ\({\pi^{-1} (N_p)}_\alpha\)および\(N_p\)のサブスペース（部分空間）たちとみなしてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）\(\pi\vert_{{\pi^{-1} (N_p)}_\alpha}: {\pi^{-1} (N_p)}_\alpha \to N_p\)のリストリクション（制限）として、任意のコンティヌアス（連続）マップ（写像）の、ドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）についてのリストリクション（制限）はコンティヌアス（連続）であるという命題によって、そして、そのインバース（逆）はドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）を同様にみなしてコンティニュアス（連続）である、コンティニュアス（連続）\({\pi\vert_{{\pi^{-1} (N_p)}_\alpha}}^{-1}\)のリストリクション（制限）として、同様に、しかし、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、それらマップ（写像）たちはドメイン（定義域）およびコドメイン（余域）をそれぞれ\(T_1\)および\(T_2\)のサブスペース（部分空間）たちとみなしてもコンティニュアス（連続）である。
任意のポイント\(p \in T_3\)に対して、ある\(U_{f (p)} \subseteq T_2\)および\(\{{\pi^{-1} (U_{f (p)})}_\alpha \subseteq T_1\}\)がある。\(f\)はコンティニュアス（連続）であるから、以下を満たすあるオープンネイバーフッド（開近傍）\(U_p \subseteq T_3\)、つまり、\(f (U_p) \subseteq U_{f (p)}\)、がある、しかし、実際には、私たちは、\(U_p\)をあるオープンボール（開球）として取ろう、それは明らかに可能である。各\(\alpha\)に対して、マップ（写像）\(f'_{p, \alpha}: U_p \to {\pi^{-1} (U_{f (p)})}_\alpha\), \(p' \mapsto f (p') \mapsto {\pi_{p, \alpha}}^{-1} (f (p'))\)、ここで、\({\pi_{p, \alpha}}^{-1}: U_{f (p)} \to {\pi^{-1} (U_{f (p)})}_\alpha = (\pi\vert_{{\pi^{-1} (U_{f (p)})}_\alpha})^{-1}\)、コンティニュアス（連続）、がある。したがって、\(f'_{p, \alpha}\)はコンティニュアス（連続）である。\(\{U_p\}\)は\(T_3\)をカバーし、\(T_3\)はコンパクトである、したがって、あるファイナイト（有限）サブカバー\(\{U_{p_i}\}\)がある。
\(p_0 \in U_{p_1}\)、一般性を失うことなく。\(f'_{p_1, \alpha_1}\)を\(p'_0 \in {\pi^{-1} (U_{f (p_1)})}_{\alpha_1}\)として取ろう。以下を満たすある\(U_{p_2}\)、つまり、\(U_{p_1} \cap U_{p_2} \neq \emptyset\)、がある、一般性を失うことなく、なぜなら、\(T_3\)はコネクテッド（連結された）である。あるポイント\(p' \in U_{p_1} \cap U_{p_2}\)がある。\(f'_{p_2, \alpha_2}\)を\(f'_{p_2, \alpha_2} (p') = f'_{p_1, \alpha_1} (p')\)として取ろう。\(U_{p_1} \cap U_{p_2}\)はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(U_{p_i}\)はオープンボール（開球）である。\(f'_{p_i, \alpha_i}\vert_{U_{p_1} \cap U_{p_2}}\)は\(f\vert_{U_{p_1} \cap U_{p_2}}\)のあるリフトであり、\(f'_{p_1, \alpha_1}\vert_{U_{p_1} \cap U_{p_2}} = f'_{p_2, \alpha_2}\vert_{U_{p_1} \cap U_{p_2}}\)、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）の任意の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであるという命題によって。\(f'_{p_1, p_2}: U_{p_1} \cup U_{p_2} \to T_1\)を\(f'_{p_1, p_2}\vert_{U_{p_i}} = f'_{p_i, \alpha_i}\)、コンティニュアス（連続）、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって、として定義しよう。
ある\(U_{p_3}\)があって、\((U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3} \neq \emptyset\)。\(p' \in (U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}\)。\(p' \in U_{p_1}\)または\(p' \in U_{p_2}\)（または両方）、そして、以下を満たす最小の\(i\)、つまり、\(p' \in U_{p_i}\)、を取ろう。\(f'_{p_3, \alpha_3}\)を\(f'_{p_3, \alpha_3} (p') = f'_{p_i, \alpha_i} (p')\)として取ろう。\((U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}\)はコネクテッド（連結された）である、なぜなら、\(U_{p_i}\)はオープンボール（開球）である。\(f'_{p_3, \alpha_3}\vert_{(U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}}\)および\(f'_{p_1, p_2}\vert_{(U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}}\)の各々は\(f\vert_{(U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}}\)のあるリフトであり、\(f'_{p_3, \alpha_3}\vert_{(U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}} = f'_{p_1, p_2}\vert_{(U_{p_1} \cup U_{p_2}) \cap U_{p_3}}\)、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）の任意の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであるという命題によって。\(f'_{p_1, p_2, p_3}: U_{p_1} \cup U_{p_2} \cup U_{p_3} \to T_1\)を\(f'_{p_1, p_2, p_3}\vert_{U_{p_1} \cup U_{p_2}} = f'_{p_1, p_2}\)および\(f'_{p_1, p_2, p_3}\vert_{U_{p_3}} = f'_{p_3, \alpha_3}\)、コンティニュアス（連続）、任意のトポロジカルスペース（空間）間マップ（写像）はコンティヌアス（連続）である、もしも、そのマップ（写像）の、ドメイン（定義域）の、アンカウンタブル（不可算）でもよいあるオープンカバー（開被覆）の各オープンセット（開集合）、への、ドメイン（定義域）リストリクション（制限）がコンティヌアス（連続）である場合、という命題によって、として定義しよう。
数学的帰納法によって、\(f\)のあるリフト\(f'_{p_1, p_2, ..., p_n}: U_{p_1} \cup U_{p_2} \cup ... \cup U_{p_n} = T_3 \to T_1\)がある。
それは\(f\)の\(p'_0\)に対するユニークなリフトである、任意のカバリングマップ（写像）に対して、任意のコネクテッド（連結された）トポロジカルスペース（空間）からの任意のコンティニュアス（連続）マップ（写像）の任意の2つのリフトたちは全体として一致するか全体として不一致であるかであるという命題によって。
